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1、 经典统计经典统计 R 语言操作语言操作 一、点估计. 2 矩法. 2 极大似然估计 . 2 二、区间估计 . 4 1 一个正态总体 . 4 1.1 均值 u 的区间估计 . 4 1.2 方差2的区间估计 . 6 2 两个正态总体 . 8 2.1 均值差12的区间估计 . 8 2.2 方差比22 12的区间估计 . 9 一般经典统计教材统计推断主要包括三个部分内容：点估计、区间估计、假设检验，其中点估计和区间估计统称为参数估计。 一、一、点点估计估计 总体是由总体分布刻画，实际问题中我们根据问题本身的专业知识或以往的经验或用适当的统计方法，有时可判断总体分布的类型，但总体分布的参数还是未知，这
2、是需要用样本对参数进行估计，即参数估计。 点估计用一个样本统计量来估计一个未知参数，特点是能够明确告诉人“未知参数大致是多少” 矩法矩法 略 极大似然估计极大似然估计 设总体 X 服从 Cauchy 分布，其概率密度函数为 21; 1f xx x 其中为未知参数，12,nXXX是来自总体 X 的样本，求的极大似然估计 解：Cauchy 分布的极大似然函数为： 2 111; 1nni iiiLxf x x 相对应的对数似然函数为： 21ln;lnln 1ni iLxnx 对数似然方程为： 2 10 1n iiixx 可以看到，得到对数似然方程的解析解比较困难，下面考虑用 R 语言求数值解。 利用
3、求根函数 uniroot() x=rcauchy(1000,1) f=function(p) sum(x-p)/(1+(x-p)2) out=uniroot(f,c(0,5) out uniroot()一般使用格式 uniroot(f,interval,lower=min(interval),upper=(interval),tol=.Machine$double.eps0.25,maxiter=1000,) 其中 f 是所求方程的函数，interval 是包含方程根的初始区间，lower是初始区间的左端点，upper 是初始区间的右端点，tol 是计算精度，maxiter 是最大迭代次数（默
4、认值为 1000） 二、二、区间估计区间估计 1 一个正态总体一个正态总体 1.1 均值均值 u 的区间估计的区间估计 （1）方差2已知 0,1XuNn因此有 21XuPZn 由上式得到关于均值 u，置信度为1的双侧置信区间 22,XZXZnn（2）方差2未知时 1Xut nSn可知置信度为1双侧置信区间为 221 ,(1)SSXtnXtnnn下面给出根据两种情况的 R 程序： interval_estimate1=0) tmp-sigma/sqrt(n)*qnorm(1-alpha/2); df-n else tmp-sd(x)/sqrt(n)*qt(1-alpha/2,n-1); df-n
5、-1 data.frame(mean=xb, df=df, a=xb-tmp, b=xb+tmp) 例： 某工厂生产的零件长度 X 被认为服从 N(u，0.04)，现从该产品中随机抽取 6 个，其长度的测量值如下（单位：mm） ： 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 试求该零件长度的置信系数为 0.95 的区间估计。 解： 输入数据，调用函数 interval_estimate1 source(“interval_estimate1.R“) X-c(14.6, 15.1,14.9, 14.8, 15.2,15.1) interval_estimate1(X, sigma
6、=0.2) 例：为估计一件物体的质量 u，将其称了 10 次，得到的重量（单位：kg）为： 10.1 10 9.8 10.5 9.7 10.1 9.9 10.2 10.3 9.9 假设所称出的物体服从,N ，求该物体重量 u 的置信系数为 0.95 的置信区间。 解： 输入数据，调用函数 interval.estimate1() source(“interval_estimate1.R“) X-c(14.6, 15.1,14.9, 14.8, 15.2,15.1) interval_estimate1(X, sigma=0.2) 1.2 方差方差2的区间估计的区间估计 分别讨论总体 X 的均值
7、已知和未知 （1）u 已知，用极大似然估计 2211ni iXn来导出2的置信区间，用卡方分布推出： 2 222 2 1/ni inXn得到2的置信度为1的双侧置信区间为： 2222 212,nn nn （2）u 未知，构造枢轴量 2 2 2(1)1nSn得到2的置信度为1的双侧置信区间为： 2222 212(1)(1),11nSnS nn由上两式写出 u 已知和未知两种情况方差2的区间估计的 R 程序： interval_var1-function(x,mu=Inf,alpha=0.05) n-length(x) if (muInf) S2 - sum(x-mu)2)/n; df - n e
8、lse S2 - var(x); df - n-1 a-df*S2/qchisq(1-alpha/2,df) b-df*S2/qchisq(alpha/2,df) data.frame(var=S2, df=df, a=a, b=b) 例：为估计一件物体的质量 u，将其称了 10 次，得到的重量（单位：kg）为： 10.1 10 9.8 10.5 9.7 10.1 9.9 10.2 10.3 9.9 假设所称出的物体服从,N ，求该物体重量 u 的置信系数为 0.95 的置信区间。 解： 用上面编好的函数计算 X-c(10.1, 10, 9.8, 10.5, 9.7, 10.1, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9) #认为均值已知认为均值已知 interval_var1(X, mu=10) #认为均值未知认为均值未知 interval_var1(X) 2 两个正态总体两个正态总体 2.1 均值差均值差12的区间估计的区间估计 分三种情况讨论 （1）两总体方差22 12,已知 （2）两总体方差22 12,相同且未知 （3）两总体方差22 12,未知 2.2 方差比方差比22 12的区间估计的区间估计 分两种情况讨论 （1）对总体均值12, 已知 （2）总体均值12, 未知两种情况分别讨论
