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1、二次函数二次函数最值问题最值问题1、 (2011漳州)如图 1,抛物线 y=mx211mx+24m (m0)与 x 轴交于 B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧) ,抛物线另有一点 A 在第一象限内,且BAC=90 (1)填空:OB= _ ,OC= _ ; (2)连接 OA,将OAC 沿 x 轴翻折后得ODC,当四边形 OACD 是菱形时,求此时抛物线的解析式; (3)如图 2,设垂直于 x 轴的直线 l:x=n 与(2)中所求的抛物线交于点 M,与 CD 交于点 N,若直线 l 沿 x 轴 方向左右平移,且交点 M 始终位于抛物线上 A、C 两点之间时,试探究:当 n 为何值时,四边形 A
2、MCN 的面积 取得最大值,并求出这个最大值2、 (2011宜昌)已知抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=mx+n 相交于两点,这两点的坐标分别是(0, )和1 2(mb,m2mb+n) ,其中 a,b,c,m,n 为实数,且 a,m 不为 0(1)求 c 的值;(2)设抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点是(x1,0)和(x2,0) ,求 x1x2的值;(3)当1x1 时,设抛物线 y=ax2+bx+c 上与 x 轴距离最大的点为 P(x0,y0) ,求这时|y0丨的最小值3、 (2011烟台)如图,在直角坐标系中,梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上,底边 CD
3、的端点 D 在 y 轴上直线CB 的表达式为 y= x+,点 A、D 的坐标分别为(4,0) , (0,4) 动点 P 自 A 点出发,在 AB 上匀速运4 316 3行动点 Q 自点 B 出发,在折线 BCD 上匀速运行,速度均为每秒 1 个单位当其中一个动点到达终点时,它们 同时停止运动设点 P 运动 t(秒)时,OPQ 的面积为 s(不能构成OPQ 的动点除外) (1)求出点 B、C 的坐标; (2)求 s 随 t 变化的函数关系式; (3)当 t 为何值时 s 有最大值?并求出最大值4、 (2011威海)如图,抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A(3,0) ,点 B(1,0
4、) ,交 y 轴于点 E(0,3) 点 C是点 A 关于点 B 的对称点,点 F 是线段 BC 的中点,直线 l 过点 F 且与 y 轴平行直线 y=x+m 过点 C,交 y 轴于D 点 (1)求抛物线的函数表达式; (2)点 K 为线段 AB 上一动点,过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H,与抛物线交于点 G,求线段 HG 长度 的最大值; (3)在直线 l 上取点 M,在抛物线上取点 N,使以点 A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,求点 N 的坐 标5、 (2011深圳)如图 1,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的顶点为 C(l,4) ,交 x 轴于 A、B 两点
5、,交 y 轴于点 D, 其中点 B 的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式; (2)如图 2,过点 A 的直线与抛物线交于点 E,交 y 轴于点 F,其中点 E 的横坐标为 2,若直线 PQ 为抛物线的 对称轴,点 G 为直线 PQ 上的一动点,则 x 轴上是否存在一点 H,使 D、G,H、F 四点所围成的四边形周长最 小若存在,求出这个最小值及点 G、H 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图 3,在抛物线上是否存在一点 T,过点 T 作 x 轴的垂线,垂足为点过点 M 作 MNBD,交线段 AD 于 点 N,连接 MD,使DNMBMD,若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理
6、由6、 (2011山西)如图,在平面直角坐标系中四边形 OABC 是平行四边形直线 l 经过 O、C 两点点 A 的坐 标为(8,o) ,点 B 的坐标为(11.4) ,动点 P 在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动,同 时动点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿 ABC 的方向向点 C 运动,过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,与折线O 一 CB 相交于点 M当 P、Q 两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点 P、Q 运动的时间为 t秒(t0) MPQ 的面积为 S (1)点 C 的坐标为 _ ,直线 l 的解析式为 _ (2)试求点 Q
7、 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式,并写出相应的 t 的取值范围 (3)试求题(2)中当 t 为何值时,S 的值最大,并求出 S 的最大值 (4)随着 P、Q 两点的运动,当点 M 在线段 CB 上运动时,设 PM 的延长线与直线 l 相交于点 N试探究:当 t 为何值时,QMN 为等腰三角形?请直接写出 t 的值7、 (2011清远)如图,抛物线 y=(x+1)2+k 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C(0,3)(1)求抛物线的对称轴及 k 的值; (2)抛物线的对称轴上存在一点 P,使得 PA+PC 的值最小,求此时点 P 的坐标; (3)点 M 是抛物线上的一动
8、点,且在第三象限 当 M 点运动到何处时,AMB 的面积最大?求出AMB 的最大面积及此时点 M 的坐标; 当 M 点运动到何处时,四边形 AMCB 的面积最大?求出四边形 AMCB 的最大面积及此时点的坐标8、 (2011攀枝花)如图,已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象的对称轴为直线 x=1,且与 x 轴有两个不同的交点,其中一个交点坐标为(1,0) (1)求二次函数的关系式;(2)在抛物线上有一点 A,其横坐标为2,直线 l 过点 A 并绕着点 A 旋转,与抛物线的另一个交点是点 B,点B 的横坐标满足2xB ,当AOB 的面积最大时,求出此时直线 l 的关系式;3 2(3)抛物线上
9、是否存在点 C 使AOC 的面积与(2)中AOB 的最大面积相等若存在,求出点 C 的横坐标; 若不存在说明理由9、 (2011宁波)如图,平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(2,2) ,点 B 的坐标为(6,6) ,抛物线经过A、O、B 三点,连接 OA、OB、AB,线段 AB 交 y 轴于点 E (1)求点 E 的坐标; (2)求抛物线的函数解析式; (3)点 F 为线段 OB 上的一个动点(不与点 O、B 重合) ,直线 EF 与抛物线交于 M、N 两点(点 N 在 y 轴右侧) , 连接 ON、BN,当点 F 在线段 OB 上运动时,求BON 面积的最大值,并求出此时点 N
10、的坐标; (4)连接 AN,当BON 面积最大时,在坐标平面内求使得BOP 与OAN 相似(点 B、O、P 分别与点 O、A、N 对应)的点 P 的坐标10、 (2011眉山)如图,在直角坐标系中,已知点 A(0,1) ,B(4,4) ,将点 B 绕点 A 顺时针方向 90得到点C;顶点在坐标原点的拋物线经过点 B (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标;(2)抛物线上一动点 P,设点 P 到 x 轴的距离为 d1,点 P 到点 A 的距离为 d2,试说明 d2=d1+1; (3)在(2)的条件下,请探究当点 P 位于何处时,PAC 的周长有最小值,并求出PAC 的周长的最小值11、 (201
11、1兰州)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,正方形 OABC 的边长为 2cm,点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上,抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B 和 D(4,2 3)(1)求抛物线的解析式 (2)如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 运动,同 时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点 C 运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动设S=PQ2(cm2) 试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围;当 S 取 时,在抛物线上是否存在点 R,使得以 P、B、Q、R 为顶点的
12、四边形是平行四边形?如果存在,求出5 4R 点的坐标;如果不存在,请说明理由 (3)在抛物线的对称轴上求点 M,使得 M 到 D、A 的距离之差最大,求出点 M 的坐标12、 (2011嘉兴)已知直线 y=kx+3(k0)分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,线段 OA 上有一动点 P 由原点 O 向 点 A 运动,速度为每秒 1 个单位长度,过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C,设运动时间为 t 秒(1)当 k=1 时,线段 OA 上另有一动点 Q 由点 A 向点 O 运动,它与点 P 以相同速度同时出发,当点 P 到达点A 时两点同时停止运动(如图 1) 直接写出 t=1 秒
13、时 C、Q 两点的坐标; 若以 Q、C、A 为顶点的三角形与AOB 相似,求 t 的值(2)当时,设以 C 为顶点的抛物线 y=(x+m)2+n 与直线 AB 的另一交点为 D(如图 2) , =34求 CD 的长; 设COD 的 OC 边上的高为 h,当 t 为何值时,h 的值最大?13、 (2011菏泽)如图,抛物线 y= x2+bx2 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(1,0) 1 2(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)判断ABC 的形状,证明你的结论; (3)点 M(m,0)是 x 轴上的一个动点,当 MC+MD 的值最小时,求 m 的值14、
14、 (2011海南)如图,已知抛物线 y=x2+bx+9b2(b 为常数)经过坐标原点 O,且与 x 轴交于另一点 E其顶点 M 在第一象限 (1)求该抛物线所对应的函数关系式; (2)设点 A 是该抛物线上位于 x 轴上方,且在其对称轴左侧的一个动点;过点 A 作 x 轴的平行线交该抛物线于 另一点 D,再作 ABx 轴于点 BDEx 轴于点 C 当线段 AB、BC 的长都是整数个单位长度时,求矩形 ABCD 的周长; 求矩形 ABCD 的周长的最大值,并写出此时点 A 的坐标; 当矩形 ABCD 的周长取得最大值时,它的面积是否也同时取得最大值?请判断井说明理由15、 (2011广安)如图所
15、示,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是直角梯形,BCAD,BAD=90,BC 与 y 轴相交于点 M,且 M 是 BC 的中点,A、B、D 三点的坐标分别是 A(1,0) ,B(l,2) ,D(3,0) 连接 DM,并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON若抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 D、M、N (1)求抛物线的解析式 (2)抛物线上是否存在点 P,使得 PA=PC,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 (3)设抛物线与 x 轴的另一个交点为 E,点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点,当点 Q 在什么位置时有|QEQC|最大?并求出最大值16、 (2011福州)已知,如图,二次函数 y=ax2+2ax3a(a0)图象的顶点为 H,与 x 轴交于 A、B 两点(B 在 A点右侧) ,点 H、B 关于直线 l:对称 =3 3 + 3(1)求 A、B 两点坐标,并证明点 A 在直线 l 上; (2)求二次函数解析式; (3)过点 B 作直线 BKAH 交直线 l 于 K 点,M、N 分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点,连接 HN、NM、MK,求 HN+NM+MK 和的最小值