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1、Page 1 of 13复数【基础知识基础知识】1. .设设 i 为方程为方程 x2=-1 的根，的根，i 称为虚数单位称为虚数单位. .由由 i 与实数进行加、减、乘、除等运算便产生形如与实数进行加、减、乘、除等运算便产生形如 a+bi( (a、bR) ) 的数，称为复数的数，称为复数. .所有复数构成的集合称复数集，通常用所有复数构成的集合称复数集，通常用 C 来表示来表示. .2. .复数的几种形式复数的几种形式 ( (1) )对任意复数对任意复数 z=a+bi( (a、bR) )，a 称作实部，记作称作实部，记作 Re( (z) )；b 称作虚部，记作称作虚部，记作 Im( (z).)
2、.z=a+bi 称为代数称为代数 形形 式，它由实部、虚部两部分构成式，它由实部、虚部两部分构成. . 1 与与 i 分别是实数单位和虚数单位，当分别是实数单位和虚数单位，当 b=0 时，时，a+bi 就是实数，当就是实数，当 b0 时，时，a+bi 是虚数，其中是虚数，其中 a=0 且且 b0 时称为纯虚数时称为纯虚数. .应当特别注意，应当特别注意，a=0 仅是复数仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件，若为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则，则 a+bi=0 是是 实数实数. . 根据两个复数相等的定义，设根据两个复数相等的定义，设 a、b、c、dR，两个复数，两个复数 a+bi 和和
3、 c+di 相等规定为相等规定为 a+bi=c+di. .ac bd这个定义得到这个定义得到 a+bi=0. .0 0a b两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等. . 两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方 程的重要依据程的重要依据. .( (2) )若将若将( (a，b) )作为坐标平面内点的坐标，那么作为坐标平面内点的坐标，那么 z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与与坐标
4、平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与 坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射. .因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复 平平 面，面，x 轴称为实轴，轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式. .( (3) )如果将如果将( (a，b) )作为向量的坐标，复数作为向量的坐标，复数 z 又对应唯一一个向量，因此坐标平面内的向量也是复数的一种又对应唯一一个向量，因此坐标平面内的向量也是复数的一种 表示形式，称为向量形式表示形式，称为向量形式
5、. .( (4) )设设 z 对应复平面内的点对应复平面内的点 Z，连接，连接 OZ，设，设xOZ=，|OZ|=r，则，则 a=rcos，b=rsin，所以，所以 z=r( (cos+isin) )，这种形式叫作三角形式这种形式叫作三角形式. .( (5) )若若 z=r( (cos+isin) )，则，则 称为称为 z 的辐角的辐角. .若若 00、b0) )，如果，如果 3z +z =0，求，求 z1和和 z2. .3232 2 1 12 2 2 2解析：解析：3z +z =0，() )2=-3，即，即=i.z2=iz1. .2 2 1 12 2 2 2z z2 2 z z1 1z z2
6、2 z z1 13 33 3当当 z2=iz1时，得时，得-3b+( (b+2) )i=i a+( (a+1) )i =-( (a+1) )+ ai. .3 33 33 33 32 23 33 3 2 2 由复数相等的条件，知由复数相等的条件，知Error!Error!z1=+3i，z2=-3+3i. .3 33 3当当 z2=-iz1时，得时，得-3b+( (b+2) )i=( (a+1) )- ai，由复数相等的条件，知，由复数相等的条件，知Error!3 33 33 33 3 2 2Error!已知已知 a，b(0，+)，此时适合条件的此时适合条件的 a，b 不存在不存在z1=+3i，z
7、2=-3+3i. .3 33 3【例例 24】求同时满足下列两个条件的所有复数求同时满足下列两个条件的所有复数 z：( (1) )16( (x0) )矛盾，矛盾，1 10 0 x x1 10 0 x x1 10 0y0. .将将 x2+y2=10 代入代入得得 0，则，则 -u222-3=1，当当 a+1=1 1a， 即即 a=0 时，上式取等号，所以时，上式取等号，所以 -u2 的最小值为的最小值为 1. .【例例 26】关于关于 x 的方程的方程 a( (1+i) )x2+( (1+a2i) )x+a2+i=0( (aR) )有实根，求有实根，求 a 的值及方程的根的值及方程的根Page
8、9 of 13【例例 27】当关于当关于 t 的一元二次方程的一元二次方程 t2+( (2+i) )t+2xy+( (x-y) )i=0( (x、yR) )有实根时求点有实根时求点( (x，y) )的轨迹方程的轨迹方程【例例 28】已知复数已知复数满足满足( ( 为虚数单位为虚数单位) )，复数，复数，试确定一个以，试确定一个以为根的为根的w4(32 )iwwi5+2zwwz实系数一元二次方程实系数一元二次方程. .解法一：因为解法一：因为 (12i)43iw，得，得 43i2i12iw，所以，所以 5|i|3i2iz . .若实系数一元二次方程有虚根若实系数一元二次方程有虚根i3z，则必有共
9、轭虚根，则必有共轭虚根i3z，因为因为6zz，10z z，故所求的一个一元二次方程可以是故所求的一个一元二次方程可以是26100xx. .解法二：设解法二：设iwabR)(ba、，则，则baba2i2i34i(4)2(32 )abiba i42 32ab ba 2 1a b ， 2iw ，以下解法同，以下解法同 解法一解法一.Page 10 of 13【例例 29】若复数若复数 z 满足满足( (tR) )，求，求 z 的对应点的轨迹方程的对应点的轨迹方程1i 1itzt解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等设设 z=x+yi，
10、( (x， yR) )， z=1 1ti ti =2222(1)12 (1)(1)11tittitititt， 2221 1 2 1txt tyt ，消去参数，消去参数 t，得，得 x2+y2= 1，且，且 x-1所求方程为所求方程为 x2+y2=1( (x-1) )诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质， 求出求出| |z| |即可即可【例例 30】设设是纯虚数，求复数是纯虚数，求复数 z 对应的点的轨迹方程对应的点的轨迹方程1z z 解：此题主要考查复
11、数的有关概念及性质，四则运算和点的轨迹方程的求法解：此题主要考查复数的有关概念及性质，四则运算和点的轨迹方程的求法 1z z 是纯虚数，是纯虚数， ()011zz zz，即，即011zz zz， 20(1)(1)z zzz zz， 2zz+z+z=0，( (z0，z-1) )，设设 z=x+yi，( (x，yR) )，2( (x2+y2) )+2x=0( (y0) ) ( (x+21) )2+y2=41( (y0) )它为复数它为复数 z 对应点的轨迹方程对应点的轨迹方程诠释：解此题应抓住虚数的定义和共扼复数的性质，利用运算法则进行求解诠释：解此题应抓住虚数的定义和共扼复数的性质，利用运算法则
12、进行求解. .【例例 31】设设且且是纯虚数，求是纯虚数，求的最大值的最大值. .Cz1zz|iz 解：令解：令 z=x+yi( (x，yR) )，则，则，是纯是纯1zz222222) 1() 1(yxy yxxyx 1zz虚数，虚数，即，即，由数形结合可知本题是，由数形结合可知本题是 0022yxyx)0(41)21(22yyx求圆求圆上的点到上的点到 A( (0，-1) )的最大距离的最大距离.max=| |PA| |=. .)0(41)21(22yyx|iz 215 1PO1/2xyPage 11 of 13【例例 32】、对于任意的对于任意的 xR 均有均有成立，试求实数成立，试求实数
13、 a 的取值范围的取值范围. .22 11izxx2 2()izxa12zz解：解：|z1| | |z2| |，对，对成立成立. .2224)(1axxx0)1 ()21 (22axaRx当当，即，即时，不等式成立；时，不等式成立；021 a21a当当时时. .综上得综上得. .021 a 0)1)(21 (40212aaa211a21, 1(a【思维点拨思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段. .【例例 33】已知复数已知复数，( (、R) )，且，且1sin2izx2(3cos2 )izmmxmx12zz( (1) )若若且且，求，求的值
14、的值. .00xx ( (2) )设设，求，求的最小正周期和单调递减区间的最小正周期和单调递减区间( )f x( )f x19. . 解：解：( (1)12zz sin23cos2xmmxsin23cos2xx- 2 分分若若0则则sin23cos20xx得得tan23x - -4 分分0,x 022x 2,3x或或423x2 63x或 -6 分分( (2)13( )sin23cos22( sin2cos2 )22f xxxxx=2(sin2 coscos2 sin)33xx2sin(2)3x- 9 分分函数的最小正周期为函数的最小正周期为T-10 分分由由3222,232kxkkZ得得511,1212kxkkZ( )f x的单调减区间的单调减区间511,1212kkkZ. .-12 分分【例例 34】关于关于的不等式的不等式201xm x的解集为的解集为，x( 1)n( (1) )求实数求实数、的值的值. .mn( (2) )若若、，且，且为纯
