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1、柯 西 不 等 式 的 一 个 推 论 及 应 用洪凰翔 ( 湖北武穴师范 436400)柯西不等式如下:ni= 1p2ini= 1q2ini= 1piqi2当且仅当p1 q1=p2 q2= =pn qn时等号成立.在柯西不等式中, 如令 pi=ai, qi=mk i ai( ai, miR+, i= 1, 2, , n, kZ) 得ni= 1aini= 1mki aini= 1mk 2i2.依幂平均不等式得1 nni= 1mk 2i1 nni= 1mik 2,于是ni= 1mk 2i n2- k 2ni= 1mik 2,ni= 1mk 2i2n2- kni= 1mik.故得定理 若 ai、
2、miR+, kZ, 则ni= 1aini= 1mki ain2- kni= 1mik当且仅当 a1= ai= = an, m1= mi= = mn时等号成立.下面以证明几道竞赛题为例, 说明定理的应用.例 1 设 a、 b、 c 均为正实数, 求证:a2 b+ c+b2c+ a+c2a+ ba+ b+ c 2. ( 1988 年国际友谊杯赛题) 证明 b+ c+ c+ a+ a+ b= 2( a+ b+c) , 依本定理得2( a+ b+ c)a2b+ c+b2c+ a+c2a+ b 32- 2( a+ b+ c)2,a2 b+ c+b2 c+ a+c2 a+ ba+ b+ c 2.显然依本定
3、理, 此题可推广为:akb+ c+bkc+ a+aka+ b( a+ b+ c)k- 12( k2) .事实上, 此即为第 28届 IMO 一道试题:若 a、 b、 c 是三角形的三边, 2p = a+ b+c, 求证:an b+ c+bn c+ a+cn a+ b2 3n- 2 pn- 1.例 2 设 a、 b、 cR+, 且 abc= 1, 试证: 1 a3( b+ c)+1 b3( c+ a)+1 c3( a+ b)3 2.( 第 36 届 IMO 试题)证明 设原不等式的左边为 A , 则A =1 a2a( b+ c)+1 b2b( c+ a)+1 c2c( a+ b) 又 a( b+
4、 c) + b( c+ a) + c( a+ b) = 2( ab + bc+ ca) , 依本定理得2( ab+ bc+ ca) A 32- 21 a+1 b+1 c2= ( bc+ ca+ ab)2,故 A 1 2( ab+ bc+ ca) 3 2.又依本定理, 该题亦可推广为 1 ak+ 1( b+ c)+1 bk+ 1( c+ a)+1 ck+ 1( a+ b)3 2( k2) .例 3 设 ak 0( k= 1, 2, , n) , 且 a1+a2+ + an= 1, 求证:a21 a1+ a2+a22 a2+ a3+ +a2n an+ a11 2.( 第 24 届全苏奥林匹克试题)
5、证明 设不等式左边为 A , 由于 a1+ a2391997年第 5期 数 学 教 学 研 究 + a2+ a3+ + an+ a1= 2( a1+ a2+ + an) , 依本定理得2( a1+ a2+ + an) A n2- 2( a1+ a2+ + an)2,A 1 2( a1+ a2+ + an) =1 2.依本定理, 原不等式可推广为:设 ak 0( k= 1, 2, , n) , 且 a1+ a2+ + an= 1, 则at1 a1+ a2+at2 a2+ a3+ +atn an+ a1n2- t 2( t2) .例 4 设 x1, x2, , xn为正实数, 求证:x21 x2+
6、x22 x3+ +x2n x1x1+ x2+ + xn.( 1984 年全国高中联赛题) 证明 设原不等式左边为 A , 依本定理得( x2+ x3+ + xn+ x1) A n2- 2( x2+ x3+ xn+ x1)2,A x2+ x3+ + xn+ x1,即x2 1 x2+x2 2 x3+ +x2 n x1x1+ x2+ + xn.同样依本定理, 把不等式推广为:若 x1, x2, , xn均为正实数, 则xk1 x2+xk2 x3+ +xkn x1n2- k( x1+ x2+ +xn)k- 1( k2) .数学竞赛中的函数问题解法综述赵春祥 ( 河北乐亭二中 063600)近些年来,
7、在国内外中学数学竞赛中, 关于函数 y= f ( x) ( 或多项式) 问题经常活跃在竞赛试卷中. 这类题目综合性强, 题目新颖,解法灵活. 本文试图通过数例来说明这类问题的常见解法.一、 拆项添式, 分类讨论例 1 函数 f ( x ) 在 0, 1 上有定义,f ( 0) = f ( 1) . 如果对于任意不同的 x1、 x2 0, 1 都有?f ( x2) - f ( x1) ?1 2, 由f ( 0) = f ( 1) ,则?f ( x2) - f ( x1) ? = ?f ( x2) - f ( 1) + f ( 0) - f ( x1) ? ?f ( x2) - f ( 1) ?+
8、 ?f ( 0) - f ( x1) ? ?x2- 1?+ ?0- x1?= 1- x2+ x1= 1- ( x2- x1) 1 2.二、 巧取特例, 极端原则 例 2 实系数多项式 p ( x) = ax2+ bx+ c( a0、 b0) , 当?x ?1 时, ?p ( x ) ?1, 令g( x ) = cx2+ bx+ a, 求证: ?x ?1时, ?g( x) ?2. ( 1985 年新加坡数学竞赛题) 证明 将 x= 1, x = 0, x= - 1 分别代入p ( x) 得: ?a+ b+ c?1, ?c?1, ?a- b+ c? 1. 于是?a+ b?= ?a+ b+ c- c?a+ b+ c?+ ?c?2.?a- b?= ?a- b+ c- c? ?a- b+ c?+ ?c?2.40 数 学 教 学 研 究 1997 年第 5 期
