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1、1这里，我们选取了考研线性代数经常出现的一些题型，结合历年真题以及一些典型例题，进行深入的讲解。第一讲第一讲 行列式的计算行列式的计算行列式的计算，要充分地运用到行列式的性质以及各类求解行列式的方法，各种有用的公式来进行。这里要进行详细的总结。1.行列式的基本性质行列式的基本性质，归结起来是如下 5 条，1 条转置性，1 条可加性，3 条初等变换性质。 经转置以后行列式的值保持不变。 两行/列互换，行列式变为相反数。 某行/列有公因数，可以把提到行列式之外。kk 某行/列的倍加到另一行/列上，行列式值不变。k 某行/列的所有元素都可以写成两个数的和，则该行列式可以写成两个行列式的和。简单的推论
2、： 行列式若有两行或两列成比例(一个特例是相等)，则该行列式为零。 。nkAkA2.行列式的按行/列展开11nijij jnijij iDa Aia Aj按第行进行展开按第列进行展开顺便的，任一元素余子式与元素所在行、列的元素均无关，因此导出了有用的替换法则：,1111 11nnjijn jnnnaac AccaaLLLMMMMMLLLMMMMMLLL111111nniij innnnacac AacaLL MMMMM MMMMM MMMMM LL也就是说，求任意行/列的代数余子式的加权和，只要将其加权系数替换相应的2行/列，即可。，按照上面的方法，问题11( 1)nn ij jijjij j
3、jc Mc A 11( 1)nn ij iijiij iic Mc A也得到了解决。进一步，由上面所说的替换法则，有如下的重要事实，1, 0nikjkij jD ija ADij ，i 1,0,nkkjij kD ija ADij 更进一步，因此，有了*AAA AA E3.拉普拉斯展开按行/列展开其实是拉普拉斯展开的一个特例，一般情况下，它是很复杂的，但有时对于解决某些问题很有帮助。这里，要简单叙述一下。 行列式的子式与余子式任取行列式的第行和第列，则其交叉点元素按原来的相12, ,.,ki ii12,.,kjjj对顺序组成的行列式称为原行列式的一个阶子式。显然，行列式任何一个元k素都是一个一
4、阶子式。划去这个阶子式所在行与列的所有元素后剩余的元素k按原来的相对顺序组成的行列式称为这个子式的余子式。例如：，为其一个二阶子式，而 6 为其余子式。438951 27643 95 拉普拉斯展开定理，为取自第行的阶子式，为1212.1( 1)k nkkC iiijjj ii iDM A iM12, ,.,ki iikiA其相应的余子式，为所在的列。12,.,kjjjiM，为取自第行的阶子式，1212.1( 1)k nkkC iiijjj ii iDM A iM12,.,kjjjk为其相应的余子式，为所在的行。iA12, ,.,ki iiiM显然，按行/列展开其实是拉普拉斯展开的一个特例。3例
5、如：。123412345678567800 00 00 00aa aaaaaa aaaaaa aa用拉普拉斯展开可以简捷明了地说明如下事实： ,0AA CBC0ABA CC ，其中，为阶矩阵，为0( 1)mnAA CCB ( 1)0mnBAA CC AmC阶矩阵。 n4.行列式计算的基本方法总结 用逆序法定义理论分析的时候较为有用，运算量太大，太过于复杂，因此一般不用于计算。如果要用来计算，需要零比较多的时候合适。例如我们用逆序法定义可以导出三角形的行列式的值。逆序法定义指出，行列式是其元素的连续函数，行列式是其元素的连续函数，这一点很重要。 初等变换法利用行列式的初等变换性质进行变换。但注意
6、，只有第三个性质，才能保持行列式的值不变。 按行/列展开法计算行列式的基本方法。计算的时候选择零较多的行或列进行展开方便。一般地，要与初等变换一起用。 拉普拉斯展开一般来说是很麻烦的，只在一些特殊情况下好用。 递归法一般用于有自相似结果的行列式，导出递归方程，而后求解递归方程而得到行列式值。范德蒙行列式的求解就是一个经典的例子。此法的关键在于寻找自相似结构和导出递归方程。 特征值法依据是矩阵的行列式为其特征值的乘积，一般用于抽象行列式。45. 行列式的一些重要公式 ，1111122nnnnnaa a aa aL OML1111221nnnnnaa aaaaM OLL以及二者的一个特例：1111
7、22nnnna a aa aOL上三角，下三角，对角行列式等于其主对角元的乘积。 ，1111(1)2 12,111( 1).nn nnnnnaa a aa a L M N11(1)2 12,112( 1).nn nnnnnnna a aa aa N以及二者的一个特例：11(1)2 12,112( 1).nn nnnnna a aa a N ，0AA CBC0ABA CC以及二者的一个特例：0 0AA CC ，其中，为阶矩阵，为阶矩阵。( 1)0mnBAA CC AmCn，其中，为阶矩阵，为阶矩阵。( 1)0mnBAA CC AmCn以及二者的一个特例：，其中，为阶矩阵，为阶矩阵。0( 1)0m
8、nAA CC AmCn ABA B ，11AA1*nAA 相似的矩阵行列式相同6.一些特殊的行列式求法5 范德蒙行列式121 111 12111()n ji ij n nnn nxxxxxxxx L L MMLL L共有项。21(1)2nCn n例例 1.计算。22111 222nnnDnnnL L LLLL L【详解详解】212111111111111 222122122 3 4!112!(2 1)(3 1)(1)(32)(42)(2)(1)!(1)!2!1!nnnnnnnnDnnnnnnnnnnnnnn n LLL LLL LLLLLLLLLLLL LLL 行/列和相等型的行列式当行列式每
9、一行的元素之和相等时，计算时将各行全部加到第一列，从第一列中提取公因式，然后，各行都减去第一行就可以降阶。显然，如果各行之和均为零，则该行列式必然为零。列和相等型的行列式也有类似的做法。(或转置下，成行和相等型)例例 1.求。abbb babb bbabbbbaL L L LLLLL L【解答解答】61(1)1(1)1 (1)(1)1(1)11000 (1)(1)()000000nabbbanbbbbbbbbabbanbabbabb anbbbabanbbabbabbbbaanbbbabbabbbab anbanbababab LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLL
10、LLLL 爪型行列式的计算求 。0121122nnnabbbcacacaLMO【详解详解】(1) 若均非零。12,.,na aa12 012012 12 11 11 22 2212 01212012111 112.(.)n nn nnn nnn n nnniin ii inbbbacccabbbaaacacacacacacabbbaccc a aaa a aaaa aa bcaaa LMOMO(2) 对于有零的情形，我们可以由行列式对元素的连续性，取非零数12,.,na aa列，使得，则( )k ia( )limk iikaa 7012012 ( ) 1111 ( ) 2222( )( )(
11、)( )( )( )( )( ) 012111012111 11limlimnn kkkk nnnnnn kkkkkkk niiniiniin iikiiabbbabbbcacacacacacaa aaaaaaabca a aaaa aa bcLLMOMO特别地，如果，则。因此，如0ia 0121122111niin iinnabbb ca caaa aa bcca LMO果中至少有两个为零，则行列式必然为零。12,.,na aa例例 1.求行列式。0123111 1 1 1a a a a【详解详解】01 0123231312 23111111aaa a a aa aa aa aaa 三对角行
12、列式的计算如下行列式称为三对角行列式ab cabcab cab cab caOOO以下讲解求之的办法。8令，则nab cabDcabcab cab caOOO112nnnnabababcabcabcabDaccabcabcabcabcabcacabcacbcaabcab aDbcaDbcDcabcaOOOOOOOOOOOO 这就导出了一个二阶线性齐次差分方程。二阶线性齐次差分方程的一般形式是：21nnnapaqa其解法与二阶线性齐次微分方程极为类似。 写出递归递归方程的特征方程，求出两根。2rprq12,r r 若，则通项为；若，则通项为12rr11 1 12 2nn nac rc r12rr
13、r。1 12()n nacc n r 根据初始条件决定未知参数。关于二阶线性齐次差分方程的了解，请参加附录 1。例 1.设是阶矩阵，证明：。22221 2121 2a aa Aaa aa OOOn(1)nAna9【详解详解】记，则，其特征方程为，其两根nDA2 1221nnnDaDa D 222rara为，因此，。12rra1 12()n nDcc n a，若，则。若，12Da2 23Da0a 0nD 0a 122 12122(2)3,23ccacc aacca 即这样，。的情形显然也满足这个公12cca1()(1)nn nDana ana0a 式，因此，。(其实，由连续性，这是必然的)(1)
14、n nADna另一种证明方法是数学归纳法，这里不赘述。区别在于前法是不知结论时导出结论，后法是已知结论时证明结论。 自相似的行列式这是个很大的类。范德蒙行列式经过变换，有自相似结构。前面诸多例子，其实也多有自相似结构。求解它的办法就是根据自相似结构建立递归方程，而后求解递归方程。例 1.求解行列式。11201 11nnnnx x D x aaaaLLL【详解详解】1 1 1120 1202121 1122122 1120121111( 1)111( 1)( 1).n nnnn nnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnn nnxxxxxDaxxaaaxaaaaaxDDa xDaxa xDaxaxa xDa xa xa xaa xa xa x LLLLLL LL由此，以及行列式对元素的连续性，101 0012012011 ()( 1)1nn nniin ii nii iinnnnnnb aab bababDaaaa abaabb aaaaa aaaa LLLLLL例 2.求解行列式。11 2 11nnnnnababDcdcdONNO【详解详解】111111 222 11111111112211 24 111112211.nnnnnnnn nn nnnnn
