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1、 第三章： 一维定态问题1对于无限深势阱中运动的粒子（见图 3-1）证明2ax ）（）（22226112naxx并证明当时上述结果与经典结论一致。n解写出归一化波函数：（1） axn axnsin2先计算坐标平均值：xdxaxn axdxaxn axdxxaaa）（ 020202cos11sin2利用公式：（2）2sincossinppx ppxxpxdxx得 （3）2cossincosppx ppxxpxdxx22cos22sin221022a axn na axnxnax axa 计算均方根值用以知，可计算xxxxx，）（2222xdxaxnxadxaxnxadxxxaa）（ 022222
2、022cos11sin2利用公式 （5）pxppxxppxxppxdxxsin1cos2sin1cos3222aaxnxna axn naxnaxax022 2222cos222sin22311 222223naa22222222 223a naaxxxx）（6）2222212naa在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是 1，几率密度。a12100axdxaxdxxaa312 202adxxaxa22222222 223a naaxxxx）（故当时二者相一致。n # 2试求在不对称势力阱中粒子的能级。解 （甲法）：根据波函数标准
3、条件，设定各区间的波函数如下：(xa 区）： （3）xkDe3但 h/211EVmkh/22mEk h/223EVmk写出在连接点 x=0 处连续条件（4）CBA（5）)(21CBikAkx=a 处连续条件（6）akaikaikDeCeBe322（7）akaikaikDekikCeBe32223（4） （5）二式相除得CBCB ikk 21（6） （7）二式相除得aikaikaikaikCeBeCeBe kik222223 从这两式间可消去 B，C，得到一个间的关系321kkk aikaikaikaikeikkeikkeikkeikk kik22222121212123 akkakkiakka
4、kk22212221 cossinsincos 解出，得atgk2（8）, 2 , 1 , 0212 2212 2nnkkkkkkatgk最后一式用 E 表示时，就是能量得量子化条件： EVEVEEVEVEamEtg21212 h（乙法）在 00 区）中仅有透射波(2) xikCex2 2但 h/201VEmkh/22mEk 考虑在原点 0（x=0）处波函数（x）和一阶倒数（x）的连接性，有：/即 (3) 0021CBA即 (4) 00/ 2/ 121CikikBA因按题意要计算反射系数，AB JJR入射几率波密度反射几率波流密度21111 2AedxdeedxdemiJxikxikxikxi
5、k A h21Amkh同理 (5)21BmkJBh，若求比值，可从（） （）消去，得到：22ABJJRAB200221212 EVEEVEkkkk ABR# 5试证明对于任意势垒，粒子的反射系数满足。 （解）任意的势垒是曲线形的，如果（x）没有给定，则（x）不能决定，因而无法计算各种 几率流密度。但如果附图所示（x）满足二点特性：(1) 0limVxV x (2) 0lim xV x我们近似地认为当时波函数的解是x h/2022vEmkCexxik时波函数的解是x h/2111mEkBeAexxikxik但由于粒子几率流的守恒（V（x）是实数函数）：在数量上入射几率流密度 应等于反射的 AJB
6、J和透射的 的和，即：CJ(1)CBAJJJ仿前题的算法，不必重复就可以写出：(2)222121CmkBmkAmkhhh这里的（1） （2）是等效的，将（1）遍除得：1J即 得证ACAB JJ JJ1RT 1将（2）式遍除得另一种形式：21Amkh2212 22 1 ACkkAB# 6设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用： ax axax2cossin4描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。 （解） （甲法）一维无限深势阱的本征态波函数是（1） axn axsin2题给波函数可用本征函数展开： ax axax2cos1sin2 ax ax axa2cossin2sin21 ax ax axa
7、sin3sinsin21 ax axa3sinsin1ax aax a3sin221sin221 xCxC321因此 是非本征态，它可以有二种本征态，处在 x ax axsin21态上的几率是。这时能量是，处在21 212 22212maEh ax ax3sin22态上的几率是，这时能量是。21 212 222229 maEh（乙法）可以运用叠加原理的展开式的系数的决定法来求 C，其余同。按一般原理，将已知函数 展开成算符的分立本 数谱时，有 x F xm xCxm mm dxxxCmm在本题中，有dxax ax axmaaCam20cossinsin42dxax ax axm aa 3sin
8、sinsin20 3sin33sin31sin11sin121axm ma axm naaxm ma axm maa 33sin 33sin 11sin 11sin2 mm mm mm mmaa按罗比达法则最后一式只有有贡献相当于 m=1，或 3。0301mm，其余与甲法同。212121CC，#7设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准关系： 22px，）（解）由对称性知道，同理也由对称 222xxx ）（ 220xxx ， 222ppp ）（性知道对谐振子而言，应先写出归一化波函数： 220ppp ， 22xmmeAx mmmHeAx22 但 （1）hm！mAmm2于是 （2） dHeAxmx
9、m2223221为了计算这个积分，利用厄米多项式不同阶间的递推式：（3） 1121mmmmHHH此式作为已知的，不证。将前式遍乘 ，重复用公式 112 21mmmHmHH 121212mmHmH）（ 1212mmHmHm）（4） 22121 41mmmHmmHmH）（将此式代入（2） dxHHmmHmHHeAxmmmmmxm121 41122 22322 dHHeAmmm 232 24 dHemAmm2 32 2 21 dHHemmAmmm 232 21此式最后一式第一项。第三项都和 的正交化积分式成比例，都等于零。第二项和归一化)(Hm积分成比例；可以简化dHeAamaxmm)(1)21(1
10、22 222)21()21(12mmalmh再计算，这可以利用波函数满足的微分方程式：（是振子质量）mmmExm dxd m222222hm将此遍乘对积分dxxmdxdxd mmmm m2*222 * 22hdxEmm*2p22 22 2*2)(mEmdxdxd im mh22221)21(2ammmxh)21()21(2)21(22mmmmmmhhh)21(mm测不准关系中的不准度是：2p22 22 2*2)(mEmdxdxd im mh22221)21(2ammmxh)21()21(2)21(22mmmmmmhhh)21(mm测不准关系中的不准度是：=22)(ppp)21(mmh因 m=0
11、, 而h)21(mpx2h px#8 设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数描述，是归一化常数，)()(xaAxx530 aA 求（1）粒子取不同能量几率分布。 （2）能量平均值及涨落。 (解)在物理意义上，这是一种能量的非本征态，就是说体系在这种态上时，它的能量是不确定的， 薛定谔方程是能量的本征方程，波函数不会满足薛氏方程式。 但我们知道势阱中的粒子满足边界条件的解是：（n=1,2,3,）这种解是能量本征态，相应的能量22222manEh按叠加原理非本征态可用本征函数谱展开：（1） （1）axn acxcxn nnnsin2)()(（2）aandxaxnxaxadxxxc003*sin)(60)()(利用积分公式：2sincossinppx ppxxpxdxx)21()(22mmxxxhaxn axnsin2)(pxpxpxpx ppxdxxsin2cos)2(sin2222于（2）式，可求得： （3）) 1(1 60233n nnc此式只有为奇数时才不为 0，故只有量子数奇数的态（4）) 12() 12(sin33sin1sin 19201)(3333kaxk ax axax仍是归一化的，故粒子具有能级：的几率是2222manEMh（5）662 22*960)604(nnccnn（2）能量的平均值
