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1、【内容提要】 非线性科学是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科。其主要研究内容包括混沌、分形和孤立子。本文主要介绍了非线性科学的起源、主要内容、主要研究方法及其工程应用，并对其未来发展进行了一些思考。【关 键 词】 非线性科学 / 研究方法 /工程应用非线性科学是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科，产生于20 世纪六七十年代。其标志是：1963 年美国气象学家洛伦兹发表的确定论的非周期流论文，揭示确定性非线性方程存在混沌(Chaos) ；1965 年数学家查布斯基和克鲁斯卡尔通过计算机实验发现孤立子(Soliton) ；1975年美籍数学家芒德勃罗发表分形：形态、机遇和维数一书，创立了分
2、形(Fractal) 理论。混沌、孤立子、分形代表了非线性现象的三大普适类，构成非线性科学的三大理论。1 非线性科学的发展标志着人类对自然的认识由线性现象发展到非线性现象。 非线性科学中的混沌理论被认为是20世纪继相对论、量子力学之后的又一次革命；分形几何是继微积分以来的又一次革命；孤立子理论则预示着物理学与数学的统一。一、线性科学与非线性科学所谓线性，是指量与量之间的关系用直角坐标系形象地表示出来时是一条直线。在数学上，主要通过对算子的描述来讨论系统的线性与否。如果算子Y 满足：其中， 为常数， u、v 为任意函数，则称算子为线性算子， 否则称为非线性算子。 2 线性系统中部分之和等于整体，
3、描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解。线性理论是研究线性系统的理论，主要包括：牛顿经典力学、爱因斯坦的相对论和量子力学理论等，它有成熟的数学工具，如线性方程、曲线，以及微积分等数学方法。 3 虽然非线性问题自古以来就有，但人们开始只能解决线性问题，随着科学技术的发展，在解决非线性问题方面才逐步取得进展。当代所有的科学前沿问题几乎都是非线性问题。从物理现象来看，线性现象是在空间和时间上光滑和规则的运动，非线性现象则是从规则运动向不规则运动的过渡和突变。非线性科学贯穿了自然科学、工程科学、数学和社会科学的几乎每门学科。4 二、非线性科学的起源5现代科学研究在15 世纪
4、初处于萌芽状态时，由于生产力水平限制，面临的实际问题大多是能量密度较低、相对稳定、变化不快、干扰不大的问题，象动能、运动速度、力的大小等都正好属于这种领域，在初步近似下都可以用线性模型处理。那时数学家们也只能解决线性问题，解决非线性问题的数学方法还很不成熟，尤其是非线性的微分方程只有很有限的一些方程可以求解。直到19 世纪末，大量的经典物理理论都是线性的，线性的数学方法也得到了充分发展。20世纪以后，随着对物质运动观测的深入，特别是在量子力学的研究中，发现很多关系都是非线性的；同时，物理和化学中涌现了很多非线性的问题。随着原子能和航空航天技术的发展，把人们带进了能量密度高、变化较快和外部干扰较
5、大、控制精度要求高的研究领域，很多情况下甚至需要解决突变问题。所有这些新兴研究领域以及新材料、新技术、新工艺的发展，都使得建立非线性模型成为必要。三、非线性科学的主要内容及应用在目前对非线性问题还没有完全获得系统的处理方法的情况下，不同的研究领域里分别出现了自己独特的研究方法，如混沌运动；分形；奇异摄动理论；分岔、突变理论；孤立子理论等。但一般认为非线性科学的三大普适类包括混沌、分形以及孤立子。（一）混沌1.混沌理论的发展历程6 19 世纪末 20 世纪初， 庞加莱在研究三体问题时遇到了混沌问题。发现如太阳、月亮和地球三者之间的相对运动与单体问题、二体问题不同，它是无法求出精确解的，多年来这成
6、了牛顿力学中的遗留难题。1903 年庞加莱在科学与方法一书中提出了庞加莱猜想，把动力学系统和拓扑学有机地结合起来，并指出三体问题中，在一定范围内，其解是随机的。实际上这是一种保守系统中的混沌，从而使其成为世界上最先了解混沌可能存在的第一人。1954 年，前苏联概率论大师柯尔莫哥洛夫发表哈密顿(Hamilton)函数中微小变化时条件周期运动的保持一文，这篇文章表述了在混沌未发生之初，在保守系统中如何出现混沌， 是 KAM 定理的雏形。 1963 年该文所述内容获得严格的数学证明，为确认不仅耗散系统有混沌，而且保守系统也有混沌的理论铺平了道路。1963 年，洛伦兹在确定性的非周期流一文中指出：在三
7、阶非线性自治系统中可能会出现混乱解。这是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例。2000年自然杂志发表论文The Lorenz Attractor Exists，首次从数学上严格证明了Lorenz 吸引子在自然界中的存在。KAM 定理讨论的是保守系统，而洛伦兹方程讨论的是耗散系统，他们分别从不同的角度说明，两种不同类型的动力系统，在长期的演化过程中是怎样出现混沌态的。1964 年，法国天文学家伊侬(Henon) 从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，给出了henon映射，并用它建立了“热引力崩坍”理论，揭示了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题。1971 年，法国数学物
8、理学家D.Ruelle和荷兰学者F.Takens 联名发表了著名论文论湍流的本质，发现动力系统中存在着特别复杂的新型吸引子，并描绘了它的几何特征，证明了与这种吸引子有关的运动即为混沌，并命名这种新型的吸引子为奇怪吸引子。2.混沌运动的特点7 混沌一词是由美籍华人学者李天岩和美国数学家约克于 1975 年首先提出。当年他们在周期3 意味着混沌的文章中给出了混沌的一种数学定义，由于该定义存在缺陷，1989 年， Devaney R.L. 从混沌所具有的特性出发，又给出了混沌的一种描述性的定义。然而迄今为止，混沌还没有一个公认的数学定义。一般认为，混沌是确定性系统中出现的貌似无规则的有序运动，混沌运
9、动的特点可以概括为：(1)内在随机性。描述混沌系统的演化方程确定，但演化行为不确定；系统短期行为确定，但长期行为不确定。系统的这种行为既不同于传统的确定性现象也不同于传统的随机性现象，而是系统确定性与随机性的有机结合。研究表明，产生混沌的本质原因在于确定性系统的非线性。(2)对初值的敏感依赖性。混沌运动的振荡解不是渐近稳定的，它的解在一定范围内表现出整体的稳定性，但是系统的非线性使进入吸引子内部的轨线不断彼此互相排斥，反复分离和折叠，使得系统的局部不稳定。这种局部不稳定就是对初始条件的敏感依赖性，即使系统初始值出现小的偏差，也会引起轨道按指数分离，这就是所谓的“蝴蝶效应”。系统对初值敏感性依赖
10、的根源仍然在于系统内的非线性相互作用，对于一维迭代系统就表现为非线性迭代方程。(3)奇异性。 从整体上看系统稳定；从局部上看系统不稳定。其解轨道在有限范围内作无数次的分离、折叠和靠拢，形成一种称为奇怪吸引子或混沌吸引子的结构。系统吸引子内部具有无穷层次的自相似结构，奇怪吸引子的维数一般为非整数。3.混沌的主要应用领域由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性，混沌控制和混沌时间序列的短期预测就成为混沌应用的主要内容。混沌控制是指混沌的控制与诱导。这是非线性动力系统与非线性控制的新理论与新方法，是智能控制的重要组成部分。 1989 年胡柏勒 (A.Hubler)发表了控制混沌的第一篇
11、文章。 1990 年奥特 (E.Ott) 、格锐柏基 (C.Crebogi)和约克(J.A.Yorke) 提出的控制混沌的思想（OGY 控制）产生了广泛响应。同年，佩考拉 (L.M.Pecora)和卡罗尔 (T.L.Carroll) 提出混沌同步的思想，接着迪托(W.L.Ditto)和罗意 (R.Roy) 等完成了控制混沌的实验。以后十年，混沌控制与混沌同步的研究得到了蓬勃的发展，并成了混沌研究领域的重要热点。其间，人们提出了各种控制混沌的方法，并在光学、 等离子体、化学反应、流体、电子回路、人工神经网络、生物系统等大量实验和应用中得到验证。目前，混沌控制的目标是人为地影响混沌系统，使之演化到
12、需要的状态。这包括：(1)混沌有害时，成功地抑制混沌；(2)混沌有用时，产生所需要的具有某些特定性质的混沌运动，甚至产生出特定的混沌轨道；(3)在系统处于混沌状态时，通过控制，产生出人们需要的各种输出。总之，尽可能地利用混沌运动自身的各种特性来达到控制目的，是所有混沌控制的共同特点。8 由于非线性系统的混沌现象是由某些关键参数的变化引起的，因此，关于控制或诱导混沌的一种十分自然的想法是直接控制或调整这些参数。基于Von Neumann的思想，Pettini在 1988 年用计算机模拟，通过观察最大Lyapunov指数的方式观察到：适当的参数扰动可以达到消除Duffing系统混沌现象的目的。之后
13、，Ott,Grebogi和 Yorke 提出了一种比较系统和严密的参数扰动方法，亦称OGY 方法。这种方法通过逐次局部线性化，配合小参数调整的手段来实现控制混沌的目的。目前关于混沌控制（或诱导）的方法主要有：参数扰动法、纳入轨道和强迫迁徙法、工程反馈控制法及混沌同调法。9 以上讨论的是关于时间混沌的控制，在时空混沌控制方面，主要有变量反馈法、定点注入法、局部模式反馈法等。另一方面，从时间序列的角度研究混沌，始于Packard等在 1980 年提出的重构相空间理论。该理论揭示了决定性系统中任一变量的长期时间演化序列，均包含了该系统所有变量长期演化的信息。因此，可以通过系统中任一单变量时间序列来研
14、究系统的混沌行为。而吸引子的不变量关联维（系统复杂度的估计），Kolmogorov熵（动力系统的混沌水平）、 Lyapunov指数（系统的特征指数）等在表征系统的混沌性质方面一直起着重要作用。混沌现象的发现开创了科学模型化的一个新典范：一方面，混沌现象所固有的确定性表明许多随机现象实际上是可以预测的；另一方面，混沌现象所固有的对初值的敏感依赖性又意味着预测能力受到根本性限制。实际上，混沌现象是短期可以预测，而长期不可预测的。混沌时间序列的预测方法包括：全域法、局域法、基于Lyapunov指数的预测法和基于神经网络的预测法等。混沌时间序列的预测具有非常广阔的应用前景，如电力系统短期负荷预测、股市
15、行情预测、转子剩余寿命的预测、天气预报等。10 （二）分形1.分形理论的发展历程11 分形 (Fractal) 理论是由美籍法国数学家芒德勃罗(B.B.Mandelrot)创建的。 1967 年他发表在美国科学杂志上的论文英国的海岸线有多长中，首次阐明了分形的思想。 1973 年在法兰西学院讲学时他又正式提出了分形几何的概念。 1975 年他的法文专著分形：形状、机遇和维数的出版，是分形学理论诞生的标志。在其著作中总结了一系列在 19 世纪后期与 20 世纪初曾困惑着大量数学家的病态曲线或几何体，如1883 年由德国数学家康托尔所构造的康托尔三分集、由法国数学家魏尔斯特拉斯在1872 年 7
16、月18 日向柏林科学院报告中提出的在分析数学中的一条处处连续又处处不可微的Weierstrass函数。2.分形集的特点 12 芒德勃罗在1982 年曾给分形下过定义：若一个集合的Hausdorff维大于其拓扑维，则该集合属分形。1986 年，他认为上述定义不完善，又重新定义为：分形是一种由许多个与整体有某种相似性的局部所构成的形体。其后不久，他于 1987 年又声称，至今尚未找到一个简洁、完整地刻划分形的定义。尽管如此，分形的基本特征是明确的，即：(1)该集合整体与局部间有某种自相似性；(2) 该集合有无穷细微的结构（无限可分）；(3) 该集合具有分数维，即分形集合的维数一般不是整数，而是分数。3.分形的主要应用领域13 分形理论诞生之后，发展甚为迅速，并在自然科学、社会科学、人文科学等各个领域中获得了广泛应用。如今，分形和分维的概念早已从最初所指的形态上的几何自相似性这种狭义分形，扩展到了在结构、功能、信息、时间上等具有自相似性质的广义分形。出现了诸如分形物理学、分形生物学、分
