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1、第 七 章 锐角三角函数情境导入卫星什么时候收到信号如图() 所示, 对于卫星跟踪站A来说, 水平线A C之下, 都是盲区( 即人造卫星出现在该区域, 跟踪站观察不到)()()现有一个人造卫星在离地面 公里的高度处运行, 如果两个跟踪站A和B设置时相距太远, 那么它们公共的盲区很大, 有可能人造卫星进入盲区时, 两个跟踪站都观察不到( 如图() 所示)问要使人造卫星S不会飞入跟踪站A和B的公共盲区( 即至少有一个跟踪站能观察到) , 圆弧A B的最大长度是多少? ( 设地球半径为 公里)要回答这个问题, 实际上就是要使人造卫星S不会飞入跟踪站A和B的公共盲区, 必须使过A和B的水平线的交点S离
2、地面的高度不大于 公里( 如图() 所示)()()当S离地面的高度恰好为 公里时, 圆弧A B的长度就是所求的最大长度由于上面的图形是对称的, 所以我们只要计算A B之长的一半, 即C B之长( 如图() 所示)因为S B O , 所以c o s 所以 , 即 弧度所以d , 即d ( 公里)因此, 两个跟踪站的距离( 即圆弧A B的长度) 不能超过 公里本章将告诉你:本章的学习重点是: 正确理解锐角三角函数的概念和运用三角函数解决实际问题本章的学习难点是: 在理解锐角三角函数的基础上, 如何使用锐角三角函数解决实际问题考点聚集专题认识锐角三角函数(s i nA,c o sA,t a nA)专
3、题知道 、 、 角的三角函数值专题由已知锐角求它的三角函数值, 由已知三角函数值求它对应的锐角专题运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题方法指路锐角三角函数( 正切、 正弦、 余弦) 的意义是本章的重点内容, 也是本章的基础正确理解锐角三角函数的意义对学习本章知识起着至关重要的作用观察、 分析、 研究图形中各个元素之间的关系( 如边与角之间的关系) , 并把这些关系用数量的形式表示出来( 即进行量化) , 这种方法是在分析问题和解决问题的过程中常用的, 因此, 在本章学习中, 要体会数形之间的联系, 逐步学会利用数形结合的思想来分析问题和解决问题在解决实际问题时, 首先要弄清实际问题的
4、意义, 然后再逐步把实际问题转化为数学问题, 尤其要明白一些术语( 如仰角、 俯角、 坡度等) 的含义, 从而正确解题 正 切学 习 目 标 导 航认识锐角的正切的概念会利用计算器求一个锐角的正切知道锐角的正切值随着锐角的增大而增大教 材 知 识 详 析要点 锐角的正切的概念在直角三角形中, 锐角的对边与其邻边的比叫做这个锐角的正切 例 在直角三角形中, 一个锐角的正切表示( )A长度B度数C比值D未知数 精析: 锐角的正切值与锐角的大小有关, 与对边、 邻边的长度无关解答:C要点 利用计算器准确地求一个锐角的正切值例 利用计算器比较t a n 与t a n 的大小精析: 利用计算器可以直接确
5、定一个锐角正切值的大小解答:t a n t a n 要点 锐角的正切的求法根据锐角的正切的概念, 可以直接求得一个锐角的正切值例 如图, 在R t A B C中,C D是斜边A B上的中线, 已知C D,A C,则t a nB的值是( )图 ABCD 精析: 本题主要运用了直角三角形的性质( 斜边上的中线等于斜边的一半) , 并考查了正切的定义因为在R t A B C中,C D是斜边A B上的中线,C D, 所以A BC D 所以B C所以t a nB 解答:C拉 分 典 例 探 究综合应用例 ( 要点) 已知A是R t A B C的一个内角, 如果R t A B C的三边都扩大倍, 那么锐角
6、A的正切值t a nA( )A缩小一半B扩大倍C不变D不能确定 精析: 由于这个三角形的三边都扩大了倍, 因而所得的三角形与原来的三角形相似, 因此,A的大小没有变化, 则锐角A的正切值也没有发生变化解答:C分析对比: 通常会误认为三角形的三边长都扩大了倍, 其锐角A的正切值也扩大了倍, 错选B图 例 ( 要点) 如图 , 在R t A B C中, 一个锐角的正切值为,A B C的周长为 求这个三角形的面积精析: 根据这个三角形的一个锐角的正切值为, 我们不妨根据正切的概念和勾股定理, 建立方程使问题得到解答解答: 不妨设A是R t A B C的一个锐角, 且t a nA, t a nAB C
7、A C , 设B Ck, 则A Ck,A Bk A B C的周长为 , kkk , 解得k,即B C, 则A C ,A B SA B C B CA C 故这个三角形的面积为 技法规律: 在直角三角形中, 已知某个三角函数值, 由比的性质可引入参数“k” 构造直角三角形的两边求出第三边, 而不能想当然, 如本例中由t a nAB CA C , 得B C,A C例 ( 要点) 某数学兴趣小组利用树影测量树高已测出树A B的影长A C为m, 并测得出此时太阳光线与地面成 夹角( 如图 () 所示)() 求出树高A B; () 因水土流失, 树A B沿太阳光线方向倒下, 在倾倒过程中, 树影长度发生了
8、 变化, 假设太阳光线与地面的夹角保持不变, 试求树影的最大长度( 计算结果精确到 m, 参考数据: , )()()图 精析: 这是一个生活实际问题, 我们可以将它抽象成一个有效的数学模型加以解答解答: () 在R t A B C中,B A C ,C , t a nCA BA C, A BA Ct a nC (m)故树高A B约为 m() 以点A为圆心,A B为半径作圆弧, 当太阳光线与圆弧相切时树影最长, 点D为切点,D EA D交A C于点E( 如图 () 所示)在R t AD E中,AD E ,E , A EAD (m)故树影的长度有最大值, 最大值约为 m分析对比: 在倾倒过程中, 不
9、能正确理解树影长度何时最大的意义, 不能正确画出示意图探究创新例 ( 要点) 直线yk x 与y轴相交所成的锐角的正切值为, 求k的值精析: 由直线yk x可以求得与y轴的交点, 再由相交所成的锐角的正切值, 根据正切的意义确定k的值解答: 当x时,yk x, 所以这条直线与y轴的交点坐标为(,)因为这条直线与y轴相交所成的锐角的正切值为,所以这条直线与x轴相交所得的线段长为因此, 这条直线与x轴的交点坐标为(,) 或(,)所以k或k, 解得k或k分析对比: 误认为k, 造成漏解,k图 例 ( 要点) 小明在学习“ 锐角三角函数” 中发现, 将如图所示的矩形纸片A B C D沿过点B的直线折叠
10、, 使点A落在B C上的点E处, 还原后, 再沿过点E的直线折叠, 使点A落在B C上的点F处, 这样就可以求出 的角的正切值是( )ABC D精析: 设A Bx, 则B Ex, 在直角三角形A B E中, 用勾股定理求出A EE F x, 于是B F()x在直角三角形A B F中,t a nF A BB FA B()x x t a n 解答:B归纳演绎: 注意折叠后两点对称, 也就是说A B E和A E F都是等腰三角形得到 的角为F A B误 区 警 醒【 误区】 三角函数概念模糊 例 如图,C ,A Cd m,B C c m求A的正切值图 错解: C ,B C c m,A Cd m, t
11、 a nAB CA C 正解:A Cd m c m 在R t A B C中,t a nAB CA C 警醒: 虽然“ 如果直角三角形的一个锐角的大小确定了, 那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定” , 但在求这两个直角边的比的时候, 单位要统一, 本题中的A C与B C单位不统一, 从而导致错误知 能 提 升 训 练夯基固本( 要 点) 如 图, 在R tA B C中,C ,B C,A C, 则t a nA的 值 为 ( )( 第题)A BC D ( 要点) 如图, 在的矩形网格中, 每格小正方形的边长都是, 若A B C的三个顶点在图中相应的格点上, 则t a n A C B的值为(
12、 )ABC D ( 第题)( 第题)( 要点,) 为测量如图所示的上山坡道的倾斜度, 小明测得如图中所示的数据 ( 单位: 米) , 则该坡道倾斜角的正切值是( )AB C D ( 要点,) 如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处, 若将A C B绕着点A逆时针旋转得到A C B , 则t a nB 的值为( )( 第题)ABCD ( 要点,) 如图, 正方形A B C D的边长为, 如果将线段B D绕着点B旋转后,点D落在C B的延长线上的点D 处, 那么t a n B AD 等于( )A BC D ( 第题)( 第题)( 要点,) 如图, 在四边形A B C D中,E、F分别是A B、
13、AD的中点, 若E F,B C,C D, 则t a nC等于( )ABCD( 要点) 在A B C中,C ,A B,B C, 则t a nA 综合应用( 要点) 如图是一张宽为m的矩形台球桌A B C D, 一球从点M( 点M在长边C D上) 出发沿虚线MN射向边B C, 然后反弹到边A B上的点P如果MCn,CMN, 那么点P与点B的距离为 ( 第题)( 第题)( 要点) 如图, 在边长为的小正方形组成的网格中,A B C的三个顶点均在格点上, 请按要求完成下列各题:() 画线段ADB C且使ADB C, 连接C D; () 线段A C的长为 ,C D的长为 ,AD的长为 ; ()A C D为 三角形, 四边形A B C D的面积为 ; () 若E为B C的中点, 则t a n C A E的值是 ( 要点) 在R t A B C中,C ,C DA B, 垂足为D, 指出A、B的正切分别等于哪两条边的比( 第 题)( 第 题) ( 要点,) 如图, 在R t A
