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1、目 录摘 要 .1关键词 .1Abstract.1Keywords .1前言 .11.对称矩阵的基本性质 .21.1 对称矩阵的定义 .21.2 对称矩阵的基本性质及简单证明32.对称矩阵的对角化 .42.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 .42.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 .53.对称矩阵的正定性 .73.1 正定矩阵的定义 .73.2 对称矩阵正定性的判别 .84.应用举例 .11总结 .12参考文献 .121对称矩阵的性质及应用摘 要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化， 对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性
2、变换和欧式空间问题中的应用等.关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用The Properties and Applications of Symmetry MatrixAbstract: The article mainly elaborates the definitions of symmetry matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, p
3、ositive definiteness of symmetry matrices and applications in quadratic form, linear transformations and Euclidean space problems etc. Keywords: symmetry matrix; diagonalization; positive definiteness; application前言矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性
4、与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点.本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用.1.对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.21.1 对称矩阵的定义定义1 设矩阵 ，记 为矩阵的转置.若矩阵 满足条件()ijsnAa()TjinsaA，则称 为对
5、称矩阵.由定义知：TA1.对称矩阵一定是方阵.2.位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即 ，对任意 、 都成ijjiaij立.对称矩阵一定形如 .121212nnnaa 定义2 形式为 的矩阵，其中 是数 ，通常称20laa ia(1,2)l为对角矩阵.定义3 若对称矩阵 的每一个元素都是实数，则称 为实对称矩阵.AA定义4 若矩阵 满足 ，则称 为反对称矩阵.由定义知：T1.反对称矩阵一定是方阵.2.反对称矩阵的元素满足 ，当 时， ，对角线上的元素ijjiajiia都为零.反对称矩阵一定形如 .12121200nna下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.1.2 对称矩阵的基本性质及简单
6、证明性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.证 设 、 是 阶对称矩阵，即 , .则：ABnTAB， ，TTTTAB.,TkCk性质2 设 为 阶方阵，则 ， ， 是对称矩阵.AnAT3证 因为 ，则 是对称矩阵.TTAATA因为 ，则 是对称矩阵，同理可证 也是对称矩T阵.性质3 设 为 阶对称矩阵（反对称矩阵） ，若 可逆，则 是对称矩阵AnA1（反对陈矩阵）.证 （1）因为 可逆， ， ，所以 是对称矩TA11T1阵.（2）因为 可逆， ， ，则 是T111()()TAA1对称矩阵.性质4 任一 矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.n证 设 为 矩阵， ，由性质2易证A12
7、TTA是对称矩阵， ，则 是12T 1TA1TA反对称矩阵.性质5 设 为对称矩阵， 与 是同阶矩阵，则 是对称矩阵.AXTX证 因为 ,所以 是对称矩TTTAAT阵.性质6 设 、 都是 阶对称矩阵，证明： 也对称当且仅当 、 可交ABnBB换.证 必要性：若 为对称矩阵，则 ，又 ，TATAA，因此， 、 可交换.B充分性：若 ，则 ， 为对称矩阵.ABTBB2.对称矩阵的对角化任意一个 阶矩阵 可对角化的充要条件是 有 个线性无关的特征向量，nAn那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明4
8、定理1 实对称矩阵的特征值都是实数. 证 设 是 阶实对称阵， 是的特征值， 是属于 的An12,TnXx 特征向量，于是有 .令 ，其中 是 的共轭复数，则X12nxii，考察等式 ，其左边为_AX_ _()()()TTTTAXAX，右边为 .故 = ，又因 是非零量，TX_故 ，即 是一个实数._120nxx 注意，由于实对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次线性方程组Ai为实系数方程组，由 知必有实的基础解系，从而对应0iAEx0iE的特征向量可以取实向量.此定理的逆命题不成立.例如， ， ， 均为实数，而 不是对称的.124031,230A定理2 设 是实对称矩，定义线性变换 , .(1
9、)，则对任A1122nnx意向量 ，有 或 .,nR,ATTA证 只证明后一等式即可. .T T定理3 设 是实对称矩阵，则 中属于 的不同特征值的特征向量必正交.AnR证 设 是 的两个不同的特征值， 分别是属于 的特征向12,12,X12,量： , .定义线性变换 如定理 2中的（1） ，于是1X2XA， .由 ，有 .2121,212,X因为 ，所以 .即 正交.112,0定理4 对任意一个 级实对称矩阵 ，都存在一个 级正交矩阵 ，使nAnP5成为对角形且对角线上的元素为 的特征值.1TPA A证 设 的互不相等的特征值为 ，它们的重数依次为12,s ()n.则对应特征值 ，恰有 个线性无关12,sr 12srrn i, ir的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得 个单位正交的特征向量，由ir知，这样的特征向量共可得 个.由定理3知对应于不同特征值12srr n的特征向量正交，故这 个单位特征向量两两正交.以它们为列向量作成正交矩n阵 ，则 ，其对角矩阵 中的对角元素含 个 ，, 个 ，P1TAP1rsr恰是 的 个特征值.n2.2 对称矩阵对角化
