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1、实验一 离散傅立叶变换试验目的 理解离散傅立叶变换的基本概念 掌握离散傅立叶变换的应用方法离散傅立叶变换傅立叶变换是信号分析和处理的重要工具。有限长序列作为离散信号的一种，在数字信号处理种占有着极其重要的位置。对于有限长序列，离散傅立叶变换不仅在理论上有着重要的意义，而且有快速计算的方法快速傅立叶变换。所以在各种数字信号处理的运算方法中，越来越起到核心的作用。下面，就对离散傅立叶变换及其 MATLAB 函数应用，结合实际工程实例做说明。1 傅立叶变换的几种形式1、非周期连续时间信号的傅立叶变换非周期连续时间信号)(tx的傅立叶变换)(jX可以表示为)(jXdtetxtj)(逆变换为 djxtx
2、tj )(21)(在这里，是模拟角频率。可以看到，时域的连续函数造成频域的非周期谱，时域的非周期性造成频域的连续谱。结论：非周期连续时间函数对应于一非周期连续频域变换函数。结论：非周期连续时间函数对应于一非周期连续频域变换函数。2、周期连续时间信号的傅立叶变换周期为T的周期性连续时间信号)(tx傅立叶变换是离散频域函数，可表示为22)(1)(TTtjmdetxTjmX逆变换为dejmXtxtjmm)()(这就是经常称之为傅立叶级数的变换形式。在这里，也是模拟角频率。可以看到，时域的连续函数造成频率域的非周期谱，频域函数的离散造成时域函数的周期性。结论：周期连续时间函数对应于一非周期离散频域变换
3、函数。结论：周期连续时间函数对应于一非周期离散频域变换函数。3、非周期离散时间信号)(nx的傅立叶变换)(jeX可以表示为nnjjenxeX)()(逆变换为deeXnxnjj )(21)(在这里，是数字频率，它和模拟角频率的关系为T。可以看到，时域的取样对应于频域的周期延拓，而时域函数的非周期性造成频域的离散谱。结论：非周期离散时间函数对应于一周期连续频域变换函数。结论：非周期离散时间函数对应于一周期连续频域变换函数。4、周期离散时间信号的傅立叶变换周期离散时间信号)(nx的傅立叶变换离散傅立叶变换，可以表示为102 )(NnnkNjekX逆变换为102 )(1)(NKnkNjekXNnx可以
4、看到，时域的取样对应于频域的周期延拓，而时域函数的周期性造成频域的离散谱。结论：周期离散时间函数对应于一周期离散频域变换函数。结论：周期离散时间函数对应于一周期离散频域变换函数。2 离散傅立叶变换离散傅立叶级数变换是周期序列，仍不便于计算机计算。但离散傅立叶级数虽是周期序列，却只有N个独立的数值，所以它的许多特性可以通过有限长序列延拓来得到。对于一个长度为N的有限长序列)(nx，也即)(nx只在) 1(0Nn个点上有非零值，其余皆为零，即其他, 010),()(Nnnxnx把序列)(nx以N为周期进行周期延拓得到周期序列)( nx，则有 其他, 010),()( Nnnxnx所以，有限长序列)
5、(nx的离散傅立叶变换（DFT）为10,)()()(10NnWnxnxDFTkXNnkn N逆变换为10,)(1)()(10NnWkXNkXIDFTnxNnkn N若将 DFT 变换的定义写成矩阵形式，则得到X=AxX=Ax，其中 DFT 变换矩阵 A A 为 2)1(111.1.11.11N NN NN NNWWWWADftmtxDftmtx 函数：用来计算函数：用来计算 DFTDFT 变换矩阵变换矩阵 A A 的函数的函数调用方式调用方式（1）Adftmta（n）：返回 nn 的 DFT 变换矩阵 A。若 x 为给定长度的行向量，则yx*A，返回 x 的 DFT 变换 y。（2）Aicon
6、j（dftmtx（n） ）/n；返回 nn 的 IDFT 变换矩阵 Ai。应用说明【实例 1】 A=dftmtx(4) Ai=conj(dftmtx(4)/4运行结果A =1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 - 1.0000i -1.0000 0 + 1.0000i1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 0 + 1.0000i -1.0000 0 - 1.0000iAi =0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0 + 0.2500i -0.2500 0 - 0.2500i0.2500 -0.
7、2500 0.2500 -0.2500 0.2500 0 - 0.2500i -0.2500 0 + 0.2500i【实例 1-a】求四点矩形序列的 DFT。分别是 16 点和 32 点等间隔采样。% DFT 的 MATLB 计算xn=1 1 1 1; %输入时域序列向量 xn=R8(n)Xk16=fft(xn,16); %计算 xn 的 16 点 DFTXk32=fft(xn,32); %计算 xn 的 32 点 DFT%以下为绘图部分k=0:15;wk=2*k/16; %产生 16 点 DFT 对应的采样点频率(关于 归一化值)subplot(3,2,1);stem(wk,abs(Xk16
8、),.); %绘制 16 点 DFT 的幅频特性图title(a)16 点 DFT 的幅频特性图);xlabel(/);ylabel(幅度)subplot(3,2,5);stem(wk,angle(Xk16),.); %绘制 16 点 DFT 的相频特性图line(0,2,0,0);title(b)16 点 DFT 的相频特性图)xlabel(/);ylabel(相位);axis(0,2,-3.5,3.5)k=0:31;wk=2*k/32; %产生 32 点 DFT 对应的采样点频率(关于 归一化值)subplot(3,2,2);stem(wk,abs(Xk32),.); %绘制 32 点 D
9、FT 的幅频特性图title(c)32 点 DFT 的幅频特性图);xlabel(/);ylabel(幅度)subplot(3,2,6);stem(wk,angle(Xk32),.); %绘制 32 点 DFT 的相频特性图line(0,2,0,0);title(d)32 点 DFT 的相频特性图);xlabel(/);ylabel(相位);axis(0,2,-3.5,3.5)实验结果【实例 2】如果)4/sin()8/sin()(nnnx是一个 N16 的有限序列，用 MATLAB 求其DFT 的结果，并画出其结果图，如图 1 所示。图 1 有限长序列的 DFT 结果图程序N=16;n=0:
10、1:N-1; %时域采样xn=sin(n*pi/8)+sin(n*pi/4);k=0:1:N-1; %频域采样WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n*k;WNnk=WN.nk;Xk=xn*WNnk;subplot(2,1,1)stem(n,xn);subplot(2,1,2)stem(k,abs(Xk);运算结果Xk =Columns 1 through 5 0.0000 -0.0000 - 8.0000i -0.0000 - 8.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000iColumns 6 through 10 -0.0000 - 0.0000i 0
11、.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000iColumns 11 through 15 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 8.0000iColumn 16 0.0000 + 8.0000iDFT 的性质两个序列)(1nx和)(2nx都是 N 点有限长序列，设,)(11xDFTkX)(22xDFTkX1、 线性),()()(2121kbXkaXbxnaxDFT式中 a，b 为任意常数。2、
12、圆周移位一个有限长序列)(nx的圆周移位定义)(nRmnxxNNm式中，Nmnx)( 表示)(nx的周期延拓序列)( nx的移位Nmnx)()( mnx有限长序列圆周移位后的 DFT 为)()()()(kXWnRmnxDFTkXkn NNNmm【实例 3】求有限长序列,)4 . 0(8)(nnx200 n的圆周移位)()10()(2020nRnxnxm。并画出其结果图，如图 52 所示。图 5-2 有限长序列的圆周移位结果图程序N=20;m=10;n=0:1:N-1;x=8*(0.4).n;n1=mod(n+m),N);xm=x(n1+1);subplot(2,1,1)stem(n,x);ti
13、tle(Original Sequence);xlabel(n);ylabel(x(n);subplot(2,1,2)stem(n,xm);title(Circular Shift Sequence);xlabel(n);ylabel(x(n+10)mod20);输出结果：x =Columns 1 through 8 8.0000 3.2000 1.2800 0.5120 0.2048 0.0819 0.0328 0.0131Columns 9 through 16 0.0052 0.0021 0.0008 0.0003 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000Columns 1
14、7 through 20 0.0000 0.0000 0.0000 0.00003、圆周卷积假设)()()(21kXkXkY则有)()()()()()()()(10121021nRmnxmxnRmnxmxkYIDFTnYNNmNNNmN用表示圆周卷积，则上式可化简为)()()()()()()(122121nxnxnxnxkXkXIDFTnyMATLAB 内部用于计算圆周卷积的函数 Circonv 程序如下：实例 4 求序列 x1=1 2 3 4 5;x2=1 2 3 4 5 4 3 2 1的圆周卷积。% exa2-6_circle_conv.m, for example 2-6% to test circle_conv.mclear;x1=1 2 3 4 5;x2=1 2 3 4 5 4 3 2 1
