奥数：页码问题(数论问题)

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1、1奥数：页码问题（数论问题）奥数：页码问题（数论问题）页码问题与图书的页码有密切联系事实上，页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题编一本书的页码，一共需要多少个数码呢？反过来，知道编一本书的页码所需的数码数量，求这本书的页数这是页码问题中的两个基本内容。页码问题是现在的奥数竞赛以及公务员考试中常见的、经常考试的知识点。页码问题实际上是数论的问题。为了顺利地解答页码问题，我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系一位数共有 9 个，组成所有的一位数需要 9 个数码；两位数共有 90 个，组成所有的两位数需要290180(个)数码；三位数共有 900 个，组成所有的三位数需要 39

2、002700(个)数码。现在我们来看几道例题例 1 一本书共 204 页，需多少个数码编页码？分析与解：19 页每页上的页码是一位数，共需数码199(个)；1099 页每页上的页码是两位数，共需数码290180(个)；100204 页每页上的页码是三位数，共需数码(2041001)31053315(个)综上所述，这本书共需数码9180315504(个)例 2 一本小说的页码，在排版时必须用 2211 个数码问：这本书共有多少页？分析：因为 18922112889，所以这本书有几百页由前面的分析知道，这本书在排三位数的页码时用了数码(2211189)个，所以三位数的页数有 (2211189)36

3、74(页)因为不到三位的页数有 99 页，所以这本书共有：99674773(页)解：99(2211189)3773(页)答：这本书共有 773 页2例 3 一本书的页码从 1 至 62，即共有 62 页在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次结果，得到的和数为 2000问：这个被多加了一次的页码是几？分析与解：因为这本书的页码从 1 至 62，所以这本书的全书页码之和为12616262(621)231631953由于多加了一个页码之后，所得到的和数为 2000，所以 2000 减去 1953 就是多加了一次的那个页码，是2000195347例 4 有一本 48 页的书，中

4、间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到 1131老师说小明计算错了，你知道为什么吗？分析与解：48 页书的所有页码数之和为124848(481)21176按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为 1176113145这两个页码应该是 22 页和 23 页但是按照印刷的规定，书的正文从第 1 页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后，也就是说奇数小偶数大小明计算出来的是缺 22 页和 23 页，这是不可能的例 5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112问：左起第 2000 位上的数字是多少？分析与解：本

5、题类似于“用 2000 个数码能排多少页的页码？”因为(2000189)36032，所以 2000 个数码排到第 996031703(页)的第 2 个数码“0”所以本题的第 2000 位数是 0例 6 排一本 400 页的书的页码，共需要多少个数码“0”？3分析与解：将 1400 分为四组：1100，101200，201300，301400在 1100 中共出现 11 次 0，其余各组每组都比 1100 多出现 9 次 0，即每组出现 20次 0所以共需要数码“0”典型例题：典型例题：例 1、13/1995 化成小数后是一个无限小数，问在这个无限小数的小数点后面，从第一位到 1995 位，在这

6、 1995 个数中，数字 6 共出现了多少次？解答：这是一个关于循环小数的周期问题。基本解答方法是先算出循环节，然后再统计每个周期的数字总数和每个周期中 6 的个数。13/19950.0065162907268170426，循环节是 065162907268170426 共 18 位，每个循环节数字 6 出现 4 次， （19951）1811014，前 14 位 6 出现 3 次，所以一共有 11043443 个。例 2、有一本 96 页的书，中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加，那么可能得到偶数吗?解：假设可能得到偶数，那么计算如下：如果这本书不缺页，则总 96 页的所有页码之和是：1+.

7、+96=4656。由于书中的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数，所以每一页上的页码之和必定是奇数。那么：残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数综上所述：不可能得到偶数。例 3、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112问：左起第 1000 位上的数字是多少？解：19 页每页上的页码是一位数，共需数码 19=9（个）；1099 页每页上的页码是两位数，共需数码 290180（个）；因为(1000189)32701，所以 1000 个数码排到第：992701370(个)数的第 1 个数码“3”所以本题的第 1000 位数是 3。4例 4、有一本科幻故事书，每四页中，有一页为文字，其余三页为图画。如果第一页为图画，那么第二、三页也是图画，第四页为文字，第五、六、七页又为图画，依此类推。如果第一页为文字，那么第二、三、四页为图画，第五页为文字，第六、七、八页又为图画，依此类推。试问：（1）假如这本书有 96 页，且第一页是图画，那么这本书多少页有图画？（2）假如这本书有 99 页，那么多少页有图画？解：（1）将每 4 页看作是一组，每一组中有 3 页是图画：964=24243=72(页)这本书有 72 页是图画。（2）994=243243+3=75(页)这本书有 75 页是图画。