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1、解: (1)由转动定律，有)31(212mlmg lg 23(2)由机械能守恒定律，有22) 31(21sin2mllmg lgsin32-29 如题 2-29 图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动， 它原来静止在平衡位置上现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度30处 (1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速0v的值； (2)相撞时小球受到多大的冲量? 题 2-29 图解: (1)设小球的初速度为0v，棒经小球碰撞后得到的初角速度为，而小球的速度变为v，按题意， 小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角
2、动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式： mvlIlmv0222 021 21 21mvImv上两式中2 31MlI ，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度o30，按机械能守恒定律可列式：)30cos1 (2212lMgI 由式得2121)231 (3)30cos1 ( lg IMgl由式 mlIvv0 由式mIvv2 2 02所以 22 001)(2 mvmlIv求得 glmMmmMl mlIlv3 1232(6)311 (2)1 (220(2)相碰时小球受到的冲量为 0dmvmvmvtF由式求得MllImvmvtF31d0glM 6)32(6负号说明
3、所受冲量的方向与初速度方向相反题 2-30 图2-30 一个质量为 M、半径为R并以角速度转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片 质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，见题 2-30 图假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向 上 (1)问它能升高多少? (2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能 解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度 Rv 0设碎片上升高度h时的速度为v，则有 ghvv22 02令0v，可求出上升最大高度为222 0 21 2RggvH(2)圆盘的转动惯量2 21MRI ，碎片抛出后圆盘的转动惯量22 21mRMRI ，碎片脱离前，盘的角动量为I，碎片
4、刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与 破盘的总角动量应守恒，即 RmvII0式中为破盘的角速度于是RmvmRMRMR0222)21(21)21()21(2222mRMRmRMR得(角速度不变) 圆盘余下部分的角动量为)21(22mRMR 转动动能为222)21(21mRMREk题 2-31 图 2-31 一质量为m、半径为 R 的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动另一质量为0m的子弹以速度0v射入轮缘(如题 2-31 图所示方向) (1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?(2)用m,0m和表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能
5、之比解: (1)射入的过程对O轴的角动量守恒2 000)(sinRmmvmR Rmmvm )(sin000 (2) 02 02 0020002 0sin21)(sin)(210mmmvmRmmvmRmmEEkk 2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题 2-32 图所示，弹簧的劲度系数为 2.0 Nm-1；定滑轮的转动惯量是 0.5kgm2，半径为 0.30m ，问当 6.0 kg 质量的物体落下 0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体 静止而弹簧无伸长 解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点， 弹簧原长为弹性势能零点，则有222
6、21 21 21khImvmgh又 Rv/故有 ImRkkhmghv222)2(1222sm0 . 25 . 03 . 00 . 6 3 . 0)4 . 00 . 24 . 08 . 90 . 62(题 2-32 图 题 2-33 图2-33 空心圆环可绕竖直轴AC自由转动，如题 2-33 图所示，其转动惯量为0I，环半径为R，初始角速度为0质量为m的小球，原来静置于A点，由于微小的干扰，小球向下滑动设圆环内壁是光滑的，问小球滑到B点与C点时，小球相对于环的速率各为多少?解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时，有 )(2 000mRII该系统在转动过程中，机械能守恒，
7、设小球相对于圆环的速率为Bv，以B点为重力势能零点，则有222 02 0021)(21 21BmvmRImgRI 联立、两式，得2 022 002mRIRIgRvB(2)当小球滑至C点时，0IIc0c 故由机械能守恒，有2 21)2(cmvRmg gRvc2请读者求出上述两种情况下，小球对地速度习题三习题三3-1 惯性系 S相对惯性系S以速度u运动当它们的坐标原点O与O重合时，t=t=0，发出一光波， 此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程 解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波波阵面方程为：2222)(ctzyx222
8、2)( t czyx题 3-1 图3-2 设图 3-4 中车厢上观测者测得前后门距离为 2l试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信 号到达前、后门的时间差解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢)(S系时空坐标为),(),(11clltx ，在车站)(S系：)1 ()()(21211cu cllcu clxcutt光信号到达后门为事件2，则在车厢)(S系坐标为),(),(22clltx ，在车站)(S系：)1 ()(2222cu clxcutt于是 2122clutt或者 lxxxtttt2, 02121)2()(22lcuxcutt3-3 惯性系 S相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，
9、取两坐标原点重合时刻作为计时起点在 S系中测得两事件的时空坐标分别为1x=6104m,1t=210-4s，以及2x=12104m,2t=110-4s已知在S系中测得该两事件同时发生试问：(1)S系相对 S 系的速度是多少? (2) S系中测得的两事件的空 间间隔是多少?解: 设)(S相对S的速度为v，(1) )(1211xcvtt)(2222xcvtt由题意 012tt则 )(12212xxcvtt故 812122105 . 12c xxttcv 1sm(2)由洛仑兹变换 )(),(222111vtxxvtxx代入数值， m102 . 54 12xx3-4 长度0l=1 m的米尺静止于 S系中
10、，与x轴的夹角=30，S系相对 S 系沿x轴运动，在 S 系中观测者测得米尺与x轴夹角为45 试求：(1)S系和 S 系的相对运动速度.(2)S 系中测得的米 尺长度解: (1)米尺相对S静止，它在yx,轴上的投影分别为： m866. 0cos0LLx，m5 . 0sin0LLy米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而y方向的长度不 变，即yyxxLLcvLL,122故 22 1tancvLLLLLLxyxyxy把45及yxLL,代入则得 866. 05 . 0122 cv故 cv816. 0(2)在S系中测得米尺长度为m707. 045sinyLL3-5
11、一门宽为a，今有一固有长度0l(0la)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运 动若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为多少?解: 门外观测者测得杆长为运动长度，2 0)(1cull ，当a1时，可认为能被拉进门，则 2 0)(1cula解得杆的运动速率至少为：20)(1lacu3-6 两个惯性系中的观察者O和O以 0.6c(c 表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是 20m，则O测得两者经过多少时间相遇? 题 3-6 图解: O测得相遇时间为tcvLt6 . 0 200O测得的是固有时t vLtt2 01 s10
12、89. 886 . 0cv8 . 0 1，或者，O测得长度收缩，vLtLLLL,8 . 06 . 01102 02 0s1089. 81036 . 0208 . 0 6 . 0 8 . 08 80cLt3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s求：(1) S相对于S的运动速度 (2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离解: 甲测得0, s4xt,乙测得s5t，坐标差为12xxx(1) tcvtxcvtt22 )(11)(Q 54122 tt cv解出 ccttcv53)54(1)(1228108 . 11sm(2) 0,45,xtttvxx m1093453 458cctvx负号表示012xx 3-8 一宇航员要到离地球为 5 光年的星球去旅行如果宇航员希望把这路程缩短为 3 光年，则他所乘的火 箭相对于地球的速度是多少?解: 222 0153,1513则ll ccv54 25913-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，
