三角函数微分公式

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1、三角函数微分公式三角函数微分公式 （转载）（转载） V 重恒 收录于 2011-02-24 阅读数：公众公开 原文来源 tags： 三角函数 微分 我也要收藏 基本函数 函数函数英语英语简写简写关系关系正弦正弦Sinesin余弦余弦Cosinecos正切正切Tangenttan（或 tg）余切余切Cotangentcot（或 ctg、ctn）正割正割Secantsec余割余割Cosecantcsc（或 cosec）编辑编辑 少用函数少用函数除六个基本函数，历史上还有下面六个函数：正矢正矢 余矢余矢 半正矢半正矢 半余矢半余矢 外正割外正割 外余割外余割 编辑编辑 历史历史随着认识到相似三角形在

2、它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其它边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。研究三角函数的有尼西亚的喜帕恰斯（公元前 180125 年）、埃及的托勒密（公元 90180 年）、Aryabhata（公元 476550 年），Varahamihira、婆罗摩笈多、花拉子密、Ab al-Waf al-Bzjn、欧玛尔海亚姆、婆什迦罗第二、Nasir al-Din al-Tusi、Ghiyath al-Kashi（14 世纪）、Ulugh Be

3、g（14 世纪）、约翰缪勒（1464）、Rheticus 和 Rheticus 的学生 Valentin Otho。Madhava of Sangamagramma（约 1400 年）以无穷级数的方式做了三角函数的分析的早期研究。欧拉的无穷微量解析入门（Introductio in Analysin Infinitorum）（1748 年）对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写 sin.、cos.、tang.、cot.、sec. 和 cosec.。编辑编辑 直角三角定义直角三角定义编辑编辑 直角三角形中直角三角形中a,

4、 b, h 为角 A 的对边、邻边和斜边在直角三角形中仅有锐角三角函数的定义。1.一个锐角的正弦正弦是它的对边与斜边的比值。在图中，sin A = 对边斜边 = a/h。 2.一个锐角的余弦余弦是它的邻边与斜边的比值。在图中，cos A = 邻边斜边 = b/h。 3.一个锐角的正切正切是它的对边与邻边的比值。在图中，tan A = 对边邻边 = a/b。 编辑编辑 直角坐标系中直角坐标系中设 是平面直角坐标系 xOy 中的一个象限角，是角的终边上一点，是 P 到原点 O 的距离，则 的六个三角函数定义为：函数名函数名定义定义函数名函数名定义定义正弦余弦正切余切正割余割编辑编辑 单位圆定义单位

5、圆定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 /2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos 和 sin 。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为 1，所以有 s

6、in = y/1 和 cos = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。在笛卡尔平面上 f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 函数的图像。对于大于 2 或小于 2 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2的周期函数：对于任何角度 和任何整数 k。周期函数的最小正周期叫做这个函数的基本周期（primitive period）。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2 弧度或 360 度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 弧度或 180 度。上面只有正弦和余弦是直接使用

7、单位圆定义的，其它四个三角函数可以定义为：在笛卡尔平面上 f(x) = tan(x) 函数的图像。在正切函数的图像中，在角 k 附近变化缓慢，而在接近角 (k + 1/2) 的时候变化迅速。正切函数的图像在 = (k + 1/2) 有垂直渐近线。这是因为在 从左侧接进 (k + 1/2) 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k + 1/2) 的时候函数接近负无穷。另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别是，对于这个圆的弦 AB，这里的 是对向角的一半，sin() 是 AC（半弦），这是印度的 Aryabhata（AD 476550）介入的

8、定义。cos() 是水平距离 OC，versin（） = 1 cos() 是 CD。tan() 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cot() 是另一个切线段 AF。 sec() = OE 和 csc() = OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsec（） = sec() 1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 接近 /2（90 度）的时候发散，而余割和余切在 接近零的时候发散。编辑编辑 级数定义级数定义正弦函数（蓝色）十分接近于它的 5 次泰勒级数（粉红色）。只使用

9、几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数 x 都成立：这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。其它级数可见于：1这里的是 n 次上下数， 是 n 次伯努利数， （下面的）是 n 次欧拉数。 在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为正切数，它有一个组合解释：它们枚举了奇

10、数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做正割数，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。编辑编辑 与指数函数和复数的联系与指数函数和复数的联系可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变数为纯虚数时候的虚数和实数部分：这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通过上述恒等式，如果考虑在复平面中

11、 eix 所定义的单位圆，同上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。进一步的，这样就可以定义对复自变量 z 的三角函数：这里的 i2 = 1。还有对于纯实数 x，我们还知道，这种指数过程与周期行为有密切的联系。复平面中的三角函数复平面中的三角函数。sin(z)cos(z)tan(z)cot(z)sec(z)csc(z)编辑编辑 微分方程定义微分方程定义正弦和余弦函数都满足微分方程就是说，每个都是它自己的二阶导数的负数。在由所有这个方程的解的二维向量空间 V 中，正弦函数是满足初始条件 y(0) = 0 和 y(0) = 1 的唯一解，而余弦函

12、数是满足初始条件 y(0) = 1 和 y(0) = 0 的唯一解。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了 V 的基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见线性微分方程）。很明显这个微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足 意味着它们是二阶算子的特征函数。正切函数是非线性微分方程满足初始条件 y(0) = 0 的唯一解。有一个非常有趣的形象证明，证明了正切函数满足这个微分方程；参见 Needham 的Visual Complex Analysis。2编辑编辑 弧度的重要性弧度的重要性弧度通过测

13、量沿着单位圆的路径的长度而指定一个角，并构成正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的则导数将正比于振幅。. 这里的 k 是表示在单位之间映像的常数。如果 x 是度，则这意味着使用度的正弦的二阶导数不满足微分方程, 但满足; 对余弦也是类似的。这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此只有它的辐角是弧度的条件下，正弦的四阶导数才再次是正弦。编辑编辑 恒等式恒等式主条目：三角恒等式三角函数之间存在很多恒等式，其中最常用的是毕达哥拉斯恒等式毕达哥拉斯恒等式，它声称对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方

14、总是 1。这可从斜边为 1 的直角三角形应用勾股定理得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为：更常见的写法是在正弦和余弦符号之后加2次幂：在某些情况下里面的括号可以省略。另一个关键的联系是和差公式和差公式，它根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和差的正弦和余弦。它们可以用几何的方法使用托勒密的论证方法推导出来；还可以用代数方法使用欧拉公式得出。当两个角相同的时候，和公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式二倍角公式。这些等式还可以用来推导积化和差恒等式，以前曾用它把两个数的积变换成两个数的和而像对数那样使运算更加快速。编辑编辑 微积分微积分三角函数的积分和导数可参见导数表、积分表和三角函数积

15、分表。下面是六个基本三角函数的导数和积分的列表。编辑编辑 利用函数方程定义三角函数利用函数方程定义三角函数在数学分析中，可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函数 sin 和 cos 使得对于所有实数 x 和 y，下列方程成立：并满足附加条件. 从其它函数方程开始的推导也是可能的，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这个推导可以用来定义伽罗瓦域中的三角学。编辑编辑 计算计算三角函数的计算是个复杂的主题，由于计算器和提供对任何角度的内置三角函数的科学计算器的广泛使用，现在大多数人都不需

16、要了。本节中将描述它在三个重要背景下的计算详情：历史上三角函数表的使用，计算器使用的现代技术，以及容易找到简单精确值的一些重要角度。（下面只考虑一个角度小范围，比如 0 到 /2，因为通过三角函数的周期性和对称性，所有其它角度可以化简到这个范围内。）主条目：生成三角函数表有计算器之前，人们通常通过对计算到多个有效数字的三角函数表的内插来计算三角函数的值。这种表格在人们刚刚产生三角函数的概念的时候就已经有了，它们通常是通过从已知值（比如 sin(/2)=1）开始并重复应用半角和和差公式而生成。现代计算器使用了各种技术。3 一个常见的方式，特别是在有浮点单元的高端处理器上，是组合多项式或有理式逼近（比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和 Pad 逼近，和典型用于更高或可变精度的泰勒级数和罗朗级数）和范围简约与表查找 首先在一个较小的表