三角形＂四心＂问题与向量的关系

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1、2 0 1 5 年 第6 期 福建中学数学 4 5 观察力 的培养就是空谈 因此高三备考复习时不能只是简单地重复，而 且在重复中要有所创新 ，笔者认为在备考教学 中， 是引导学生掌握科学的观察方法，培养良好的观察 习惯的绝好机会 ，不可错过 一方面 因为 由于高 中 数学 内容 已学完 ，在处理数学问题 时，学生有能力 可 以进行一题 多解 ，去引导学生从不 同角度进行观 察 ，以发现解决问题的不 同方案 ；另一方面 ，可通 过观察条件与求解目标的差异，为了消除差异，可 作 出定向变换 ，在变换 的过程中 ，教师可引导学生 该如何观察 ，如观察时要分清主次，可先有整体到 部分 ，再 由部分到整

2、体 ，即先要对事物有一个整体 的大致的把握 ，然后再观察它们 的各个部分 ，以及 部分与部分、部分与整体 的关系 对于一些有连 续 性的事物或活动 ，更要引导学生有步骤、有顺序地 去观察，从而达到快速实现解题 目标 总之 ， 在“ 题海战术” 式的复 习模式大行其道的今 天， 提醒广大教师在高三备考复习中， 仅以“ 大量做 题” 来提高学生能力 ，是不明智的做法 ，要教给学生 “ 渔” ，而不是一个个“ 鱼” ， 其 中观察能力是学 习数学 的必不可缺少的一种能力 ，理应受到重视 ，只有这 样，才能做到科学、高效备考 三角形 “ 四心 问题与向量的关系 严渊 四川省苍溪中学校( 6 2 8 4

3、 0 0 ) 向量兼具数与形的特征 ，很多几何 图形的性质 如果 用向量表达 ，可 以得到独特的形式 例如 ，高 中数学 中我们经常会用向量表达三角形 的性质 其 中，三角形的“ 四心” 与 向量有着千丝万缕的关系 ， 是 向量与三角形的交汇点，是高考命题的一个热点 下面就对三角形“ 四心” 的向量问题 ， 作一较为系 统地梳理 1三角形的重心与向量 三角形三条中线的交点叫重心，它到三角形顶 点距离与该点到对边中点距离之比为2 ： 1 在向量表 达形式中，设点 G是 , 5 A B C所在平面 内的一点，则当 点 G 是 A A B C的 重 心 时 ，有 G A+G B+G C=0或 1 一

4、 P G= ( + 船 + P C ) ( 其 中 P为平 面 内任 意一 j 点) 反之， 若 G A + G B + G C=0 ， 则点 G是A A B C的 重心 A ( A B+ A C )， 0 ， + ) 是 B C边上 的中线 A D上的任意向量 ，必过重心 例 1已知 D是 A A B C所在平面上的一点，若 O A+O B+O C=0，则 D点是 A A B C的 ( ) A夕 心 B内心 C重心 D垂心 解 若 O A+ O B+O C=0，贝 O A+ O B=一 O C，以 O A，O B为邻边作平行四边形 O A GB，设 OC l 与 A B 交于点 D ，则 D

5、为 A B的中点，有 O A+O B=OC ， 得 o c , =一 OC， 即 C， 0， D ， G四点共线， 同理 A E， 也为 A A B C的中线 ，所以 0是 A A B C的重心 ，故 选 C 例 2已知0是平面上的一定点， ， B， C是平面 上不共线的三个点 ， 动点 P 满足 ： 一O A+ ( f f s i n B + 赢 【o ，+ o。) ， 动 点 P 的 轨 迹 一 定 通 过 A A B C的 ( ) A重心 B垂心 C外心D内心 解 由已知可得 = + ) ， 由正弦定理知 j A B I s i n B： I A Cl s i n C， P： T = 二

6、 I 邶 ( A B+ AC ) ，设 B C的中点为 D，则由平行四边形法 则可知点 P在 B C的中线 A D所在的射线上 ，所以动 点P的轨迹一定通过 & d B C的重心，故选 A 2三角形的垂心与向量 三角形三条高线的交点叫垂心它与顶点的连 线垂直于对边 在 向量表达形式 中， 若 是 A A B C的 垂心 ，则 H A HB：H B HC=HC H A或 + c = 丽 + =丽 + 反之 ，若 厕 历 ：面 蔚 ：HC H A，则 是 A I B C的垂心 设 ( 0 ， 佃 ) ，则 向量 + ) 4 6 福建 中学数学 2 0 1 5 年第6期 必垂直于边 B C，该 向量

7、必通过 A , 4 B C的垂心 例 3已知D点是A A B C所在平面内一点，O A O B=O B O C=O C O A，则 D点是 A A B C的 ( ) A夕 f 心 B内心 C重心 D垂心 解 由O A O B=O B OC，则 O A O B O B O C=0 ， 即 O B ( O A oc ) ：0，得 O B C A=0，所以 O B上C A 同理可证O C上A B，O A 上B C， 0是A A B C的 的垂心，故选 D 例 4已知D是平面上的一定点， ， B， C是平面 D 上不共线的三个点 ， 动点 P满足 O P： + ( 一 l AB C O S B + A

8、C C O S C) ， + = = = = 一l 过 A A B C的 ( A重 心 ( 0 ， + o 。 ) ， 则动点P的轨迹一定通 ) B垂心 C外心D内心 解由已知得 = + ) ， 1 n u 1 u 上J 1 n 1 u ： f ：皇 + ： 1 A BI c o s B A CI C O S C ，I A B1 1 B C J C O S ( 一 ) f A C1 1 B CI C O S C 、 = 一 一 一- I A Bl C O S B l A CI C O S C ： ( 一I J) =0 。 P上B C，即A P上B C， 所以动点 P的轨迹通 过 A ,4 B

9、C的垂心，故选 B 3三角形的内心与向量 三角形三条内角平分线的交点叫内心内心就 是三角形 内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相 等 在向量表达形式中，若点 0是 A A B C的内心，则 有 B Cf +I J +I A Bl O C=0 反 之 ， 若 I B C l +I I +J A B I O C=0，则点 0是 A A B C 的 内 心 Iel A ( 鲁 + ) ， (o ， + ) ， 必 过 三A C l J l I 角形的内心 例 5已知0是平面上一定点， ， B， C是平面上 不共线 的三个点 ，动点 P满足 = + ( + 焉 ) ， 【0 + o0) ， 则 P 点

10、 的 轨 迹 一 定 通 过 c 的 ( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 解 由 已 知 得 = (号 + A C ) ， 是 方向上的单位向量 ， 是 A C方向上的单位向量 ， I AC l 根据平行四边形法则知以 与 为邻边构成 I A Bf I AC 的平行四边形是菱形，点P在 Z B A C的角平分线上， 故点 P的轨迹过 A A B C的内心，故选 B 例 6已知 D点是A A B C所在平面上的一点，若 一PO ：a PA +b _PB+一c P C ( 其中 P是 c所在平面内 a + D + c 任意一点) ，则 D点是 A A B C的 ( ) A外心 B内心 C重心

11、D垂心 解 由已知得 ： + 一b P B + c P C- c P A - b P A a + D + c ：一 PA +b AB +c AC。 以+ D+ c ：b AB +c AC：丝( + 1 口+b+C a+b+C C b = a b C AB+ AC， + + l l l r 由上题结论知 D点是 A A B C的内心，故选 B 4三角形的外心与向量 三角形三条边 的中垂线 的交点 q g t “ 心 外 心就 是三角形外接 圆的圆心，它到三角形的三个顶点 的 距离相等 在向量表达形式中， 若点0是A A B C的外 心，则 ( O A十 o B ) B A=( O B十 oc )

12、 C B=( o c+O A ) AC =0( 或 1 O Af= O Bf= I O CI ) 反之 ， 若 l O A l = I O B l= 1 O C I ， 则点 0是 A A B C的外心 例 7已知D点是 A A B C所在平面上的一点，若 ( +O B ) B A：( + D C ) C B：( o c+ ) A C=0， 则 D点是 c的 ( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 解 由题可知，( O A + O B ) ( O B O A ) = ( O B + O C ) ( o c O B ) ：( oc+0 1 ( oc O A ) =0 O B O A ： O C

13、一 。 =pC 一-5 3 =0I O AJ= l O I= I OCI ， 所以 D点是 zS A B C的外心 ，故选 A 例 8已知D是平面上的一定点， A， B， C是平面 上不共线 的三个点 ， 动点 P 满足 ： O B _+_OC + ( 2 0 1 5 年 第6 期 福建 中学数学 4 7 _ + ) ， ( 0， J 1 ) ，则动点 P的 一 l一 ， 、 u， I I A B I C O S B I AC l C O S C 。 。 轨迹一定通过 A A B C的 ( ) A重心 B垂心 C夕 卜 心 D内心 解 设 日 c的中点为。， 则O B_ + O C= O O，

14、则 由 已知得 ： ( + I ABI C O S B J ACI C O S C ： f ： 皇 + ： 皇 1 I A Bl C O S B f ACf C O S C j ，I A Bl l B CIC O S ( 一 )。 l A Cll B CI C O S C、 I _ = =： 一十 _ = _ 一J I A Bl C O S B l A CI C O S C = ( 一I 百 l +1 百 1 ) =0， 上B C，P点在 B C的垂直平分线上 ，故动 点 P的轨迹通过 A 1 B C的外 心 5三角形的“ 四心” 与向量的综合 例 9已知非零向量 与 满足 + ) 一 B C：0且 ： ，则 A A B C() I B II AC I 2 A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 解 由 于 号 + 看 所 在 的 直 线 过 三 角 形 的 内 心 ， ( + ) ：0知 角 A的平分线 垂直 于 1 A B l 1 AC 1 。 。 。 B C ，故 A A B C为等腰 三角形 ，即 1 I ： I 1 由 C 1 C l _= _= = 一 = CO SA= =_ = =