一元二次方程根的判别式教学案例 (2)

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1、一元二次方程根的判别式教学案例一元二次方程根的判别式教学案例作者： 高坤成 日期：2008-03-27 19:43:56一、教材分析1、4、教学目标 ：（1）知识能力目标：通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式。在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件。（2）情感目标：学生通过观察、分析、讨论、相互交流、培养与他人交流的能力，通过观察、分析、感受数学的变化美，激发学生的探求欲望。5、数学思想：由感性认识到理性认识。6、教学重点：（1）发现根的判别式。（2）用根的判别式解决实际问题。7、教学难点 ：根的判别式的发现8、教法：启导、探究9、学法：合作学

2、习与探究学习10、教学模式：引导发现式二、教学过程 （一）自习回顾，引入新课1、师生共同回顾：一元二次方程的解法2、解下列一元二次方程。（1）x2 -1=0 （2）x2 -2x =-1（3）(x+1)2- 4=0 （4）x2 +2x+2=03、为什么会出现无解？（二）探索1、回顾：用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的过程。ax2+bx+c= 0x2+ b/ax =cx2+ x+( )2=( )2c2(x+ ) 2= 22 2、观察(x+ ) 2= 2 在什么情况下成立？3、学生分组讨论。4、猜测？5、发现了什么？6、总结：2（先由学生完成，后由教师补充完整），通过观察分析发现

3、，只有当 b24ac 0 时，才能直接开平方，也就是说，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)只有当系数 a,b,c都是 b24ac 0 时，才有实数根。（注意有根和有实数根的区别）7、进一步观察发现一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)（1）当 b24ac 0 时，_（2）当 b24ac 0 时,_（3）当 b24ac 0 时,_8、总结：（1）比较分析学生的讨论分析结果。（2）由学生总结。（3）教师根据学生总结情况补充完整。把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式。（1）当 b24ac 0 时，_（2）当 b24ac 0 时,_（3）当 b24ac

4、 0 时,_（三）应用新知：1、不解方程判定下列一元二次方程根的情况。（1）x2-x-6=0 b24ac=_ x1=_ x2=_（2）x2-2x=1 b24ac=_ x1=_ x2=_（3）x2-2x+2=0 b24ac=_ x1=_ x2=_2、根据根的情况，求字母系数的取值范围。例 1：当 m 取什么值时，关于 x 的一元二次方程，2x2-(m+2)+2m=0 有两个相等的实数根？并求出方程的根。（1）读题分析：A、二次项系数是什么？ a=_B、一次项系数是什么？ b=_C、常数项是什么？ c=_(2)建立等式，根据有个常数根 b24ac=0（3）由学生完成解题过程后教师评价3、证明例 2

5、：说明不论 m 取什么值时，关于 x 的一元二次方程（x-1）(x-2)=m2,不论 m 取代的值都有几个不相等的实根。（四）已知关于 x 的一元二次方程 2x2-(2m+1)x+m=0 的根的判别式是 9，求 m 的值及方程练习的根。（五）小结：把_叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式，并会用它们解决一些实际问题。三、作业 1、把第 1、2 整理在作业 本上。2、有余力的同学把练习题整理在作业 本。（一）教学过程1复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程： ； ； 。问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通 过自己亲身感受的根的情况，

6、对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作 用。2任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为，因此对于被开方数 来说，只需研究 为如下几种情况的方程的根。（1）当 时，方程有两个不相等的实数根。即（2）当 时，方程有两个相等的实数根，即 。（3）当 时，方程没有实数根。教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答： 。3定义：把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用符号“ ”表示。一元二次方程 。当 时，有两个不相等的实数根；当 时，有两个相等的实数根；当 时，没有实数根。反之亦然。注意以下几个问题：（1）复习提问 这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后

7、有下面三种情况。正确得出三种情况的结论， 需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在 这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。（2）当 ，说“方程 没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。（一）教学过程1复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程： ； ； 。问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通 过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作 用。2任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为，因此对于被开方数 来说，只需研究 为如下几种情况的方程的根

8、。（1）当 时，方程有两个不相等的实数根。即（2）当 时，方程有两个相等的实数根，即 。（3）当 时，方程没有实数根。教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答： 。3定义：把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用符号“ ”表示。一元二次方程 。当 时，有两个不相等的实数根；当 时，有两个相等的实数根；当 时，没有实数根。反之亦然。注意以下几个问题：（1） 这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方 根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向 学生渗透转化和分类的思想方法。（2）当

9、 ，说“方程 没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。4例题讲解例 1 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1） ；（2） ；（3）。解：（1）原方程有两个不相等的实数根。（2）原方程可变形为。，原方程有两个相等的实数根。（3）原方程可变形为。原方程没有实数根。学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c 的（2）计算 的值；（3）判别根的情况。强调两点：（1）只要能判别 值的符号就行，具体数值不必计算出。 （2）判别根据的情况，不必求出方程的根。练习：不解方程，判别下列方程的情况：（1） ；（2）

10、 ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）学生板演、笔答、评价。（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设 ，判别方程根的情况，由此判别原方程根的情况。例 2 不解方程，判别方程 的根的情况。解： 。又 不论 k 取何实数， ， 原方程有两个实数根。教师板书，引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围，从而确定 的取值。练习：不解方程，判别下列方程根的情况。（1） ；（2） ；（3） 。学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。（3）解： 不论 m 取何值， ，即 。 方程无实数解。由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字 母的取值。（二）总结、扩展1判别式的意义及一元二次方程根的情况。（1）定义：把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用符号“ ”表示。（2）一元二次方程 。当 时，有两个不相等的实数根；当 时，有两个相等的实数根；当 时，没有实数根。反之亦然。2通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。四、布置作业四、布置作业教材P27A14。5不解方程，判断下 x 的方程的根的情况（1）（2）本节内容是在学生掌握一元二次方程的解法基础上学习的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，并进一步深化前面学习内容，并为了后面学生利用它进一步学习函数的有关内容。