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1、1产品生产加工销售的优化设计齐文华 赵佩 张妙华摘要一个公司，工厂的决策者经常在为如何定制有效的生产加工，销售计划而 头疼。本文中，我们就针对这类问题，采用混合整型优化的方法，通过 LINDO 软件包辅助计算，再经过局部微调优化最终得到如下结论： 第一问：低成本，最大利的最优产销方案： 7 月，解雇 4 人，8 人正常工作 1344 小时，不加班，生产 840 件，库存 400 件； 8 月，培训 5 人，13 人正常工作 2184 小时，不加班，生产 1365 件，库存 40 件；9 月，培训 2 人，15 人正常工作 2520 小时，不加班，生产 1575 件，库 存 5 件；10 月，解
2、雇 1 人，14 人正常工作 2352 小时，不加班，生产 1470 件， 库存 0 件；11 月，培训 1 人，15 人工作 2560 小时，其中加班 40 小时，生产 1600 件，库存 0 件；12 月，解雇 1 人，14 人工作 2400 小时，其中加班 48 小时，生产 1500 件，库存 0 件。预期投资 1001598 元，单件成本 119.9518 元，单件获利 140.0482 元，生产总利润 1169402 元。销售总额 2275000 元。第二问（1）：7 月（淡季）促销方案：7 月， 10 人工作 1680 小时，生 产 1050 件，库存 400 件；8 月，12 人
3、正常工作 2016 小时，生产 1260 件，库 存 73 件；9 月，14 人正常工作 2352 小时，生产 1470 件，库存 17 件；10 月， 14 人正常工作 2352 小时，生产 1470 件，库存 30 件；11 月， 15 人工作 2560 小时，其中加班 40 小时，生产 1600 件，库存 0 件；12 月，14 人工作 2400 小时，其中加班 48 小时，生产 1500 件，库存 0 件。平均单件成本 119.9518 元，平均单件获利 136.7499 元，总获利 1141862 元，销售总额为： 2247460 元。预期投资 1001598 元。第二问（2）：11
4、 月（旺季）促销方案：7 月， 8 人工作 1344 小时，生 产 840 件，库存 400 件；8 月，13 人正常工作 2184 小时，生产 1365 件，库 存 40 件；9 月，15 人正常工作 2520 小时，生产 1575 件，库存 5 件；10 月， 14 人正常工作 2352 小时，生产 1470 件，库存 30 件；11 月， 16 人工作 1690 小时，其中加班 16 小时，生产 1690 件，库存 0 件；12 月，13 人工作 2256 小时，其中加班 72 小时，生产 1410 件，库存 0 件。平均单件成本 119.9818 元，平均单件获利 135.9703 元
5、，总获利 1135352 元，销售总额为： 2241200 元。预期投资 1001848 元。关键字：混合整型规划 成本 利润一 问题重述：某企业生产一种手工产品，在现有的营销策略下，根据往年经验，现对下半年 6 个月的产品需求预测如表 1 所示。2表 1. 产品需求预测估计值（件）月份7 月8 月9 月10 月11 月12月预计需求量1200140015501500160015007 月初工人数为 12 人，工人每月工作 21 天，每天工作 8 小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过 10 个小时。7 月初的库存量为 400 台。产品的销售价格为 260 元/件。该产品的销售特点是，如果当
6、月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。12 月末的库存为 0（不允许缺货）。各种成本费用如表 2 所示。表 2. 产品各项成本费用原材料成本库存成本缺货损失外包成本培训费用100 元/件10 元/件/月20 元/件/月20 元/件50 元/人解聘费用 产品加工时间工人正常工资工人加班工资100 元/人1.6 小时/件12 元/小时/人18 元/小时/人问题一，让我们充当公司决策人员，建立一个低成本、最大利的最优产销方案；问题二，公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为 240 元/件时，
7、则接下来的两个月中 6%的需求会提前到促销月发生。就 7 月份（淡季）促销和 11 月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比，选取最优的产销规划方案。二 问题分析：3由于产品需求预测估计值已由销售部提供，我们只需考虑如何安排工人 工作，使得我们预期的投资成本最低，这样就能得到最优生产计划。每月在 安排生产时，都会对员工数调整，或培训新人，或解雇旧员工，或不变动。 但培训和解雇不能同时发生，这里我们采用 01 规划。其次，必须保证下 半年的总生产量加上 7 月初的库存等于下半年的产品需求预测估计值。在保 证完成生产任务的前提下，我们再考虑是自产还是外包？各种生产方式生产 多少最合
8、理？又因外包生产成本固定，故只需考虑自产方案。这里我们将采 用层层逼近，逐步细化的方法，对模型进行不断修改，完善。方法如下：第 一步：当月生产量=当月预计需求，即无库存，无缺货；第二步：当月生产量 +月初库存=当月预计需求+次月初库存，即只有库存；第三步：当月预计需求 +次月初库存， （上月缺货）（只选其一）=当月预计需求+次月初库存， （当月缺货）（只选其一） ，既有库存，有缺货模型。我们将采用这个模 型对自产方案进行分析，优化。第二问中，只需改变各月的预计需求值即可。 这样，一个混合整型优化方案便提出来了。三 模型假设：1. 在聘请或解雇员工时，都会提前完成培训或离职手续。即月初经人员调整
9、 后所有人员立即工作。 2. 所有工人经培训后，业务能力强，生产的产品均合格。 3. 所有工人都能完成正常上班任务，加班时服从安排。四 符号约定：P：生产总成本；：第 i 月的工人数；（i=7，8，12）ix：第 i 月聘请（培训）的工人数；iy：第 i 月解雇的工人数；（i=7，8，12）iz：第 i 月月初的库存数；（i=7，8，12）iw：第 i 月的加班时间；（i=7，8，12）it：第 i 月的总工作时间；（i=7，8，12）ihs：自产总数； n：外包生产总数；：第 i 月的缺货量；（i=7，8，12）im：第 i 月产品需求估计值；（i=7，8，12）iq五 模型建立及求解：4第
10、一问：由以上分析及假设，我们确定目标函数为生产总成本最低，得：Min P=100s+10+20+200n+50+100+18 +12 21 8iwimiyizit ix进而再写出约束条件： s+n=8350;自产和外包生产总和=12+-,=+-;（i=7，8，12）每月工人数约束；7x7y7zix1ixiyiz 1.6s=;产品加工时间约束；127ih+=+-;特别的，=0，=0， （i=7，8，12）每月1.6ihiwiq1im1iwim6m13w的产销平衡约束。10，每月加班时间约束it ix 在以上各约束中，和，和至少有一个必须为 0。iyiziwim在的约束条件下，我们利用 LINDO
11、 软件包进行优化求解，得到如下生 产销售方案：7 月解雇 4 人，8 人正常工作，不加班，工作时间 1344 小时， 生产 840 件，库存 400 件；8 月培训 5 人，13 人正常工作，不加班，工作时 间 2184 小时，生产 1365 件，库存 40 件，9 月培训 2 人，15 人正常工作，不 加班，工作 2520 小时，生产 1575 件，库存 5 件；10 月解雇 1 人，14 人正常 工作，不加班，工作时间 2352 小时，生产 1470 件，库存 30 件，11 月培训 1 人，15 人除正常工作外，共加班 40 小时，工作 2560 小时，生产 1600 件， 无库存；12
12、 月解雇 1 人，14 人除正常工作外共加班 48 小时，工作 2400 小时， 生产 1500 件，无库存。预期生产投资 1001598 元，单件生产成本 119.9518 元，淡淡获利 140.0482 元，总利润 1169402 元，销售总额 227500 元。第二问：7 月、11 月促销的产销方案规划只需将第一问中的改变即可。更iq改后，我们再利用 LINDO 优化计算，得到如下两种方案：iq(1)7 月（淡季）促销的产销方案：7 月，解雇 2 人，10 人工作 1680 小时， 生产 1050 件，库存 400 件：8 月，聘请 2 人，12 人正常工作 2016 小时，生 产 14
13、70 件，库存 17 件；10 月，14 人正常工作 2352 小时，生产 1470 件，库 存 30 件；11 月，聘请 1 人，15 人工作 2560 小时，其中加班 40 小时，生产 1600 件，无库存；12 月，解雇 1 人，14 人工作 2400 小时，其中加班生产 48 小时，生产 1500 件，无库存。预期投资 1001598 元，单件平均获利 136.7499 元，总获利为：1141862 元，销售总额 2247460 元。 （2）11 月（旺季）促销方案：7 月，解雇 4 人，8 人正常工作 1344 小时，生产 840 件，库存 400 件； 8 月，13 人工作 218
14、4 小时，生产 1365 件，库存 40 件；9 月，聘请 2 人，15 人正常工作 2520 小时，生产 1575 件，库存 5 件；10 月，解雇 1 人，14 人正 常工作 2352 小时，生产 1470 件，库存 30 件；11 月，聘请 2 人，16 人工作51690 小时，其中加班 16 小时，共生产 1690 件，无库存；12 月，解雇 3 人， 13 人工作 2256 小时，其中加班生 410 件，无库存。平均单件生产成本 119.9818 元，单件平均获利 135.9703 元，总利润 1135352 元，销售总额 2241200 元。预期生产投资（成本） 1001848 元
15、。 六、 ，模型解释与验证：通过我们的计算机发现，没有缺货情况的出现，说明缺货会给公司企业带 来不必要的损失，应尽量的避免该情况的发生；同样的，我们也没有发现外包 生产的出现，因为自产的成本在 120 元左右，而外包生产成本却达 200 元，可 见，为提高公司企业 的竞争力，还必须加大自主创新能力。我们的模型结果符 合当前各公司、企业的生产模式（不允许缺货） ，并集中体现了节能降耗。自主 创新是当进各公司、企业发展的必由之路。 此外，根据 7 月（淡季） ，11 月（旺季）促销和不促销方式的对比，可以看出， 虽然促销会使公司获利减少，但是促销却能加快资金回笼，提升品牌；综合考 虑，促销更具优势
16、。这便合理说明了为什么许多公司会经常搞促销。七、参考文献：【1】杨桂元， 数学建模 ，合肥：中国科学技术出版社，2008.8【2】周义仓， 数学建模引论 ，北京：高等教育出版社，2005.7【3】王连堂， 数学建模 ，西安：陕西师范大学出版社，2008.5【4】姜启源， 数学模型 ，北京：高等教育出版社，1993附录： 1. min 100s+10w7+10w8+10w9+10w10+10w11+10w12+20m7+20m8+20m9+20m10+20 m11+20m12+200n+50y7+50y8+50y9+50y10+50y11+50y12+100z7+100z8+100z9 +100z10+100z11+100z12+2016x7+2016x8+2016x9+2016x10+2016x11+2016x12+ 18t7+18t8+18t9+18t10+18t11+18t12 st s+n=8350 x7+z7-y7=12 x8-x7-y8+z8=0 x9-x8-y9+z9=
