贝壳表面和界面题解

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1、 1第第 7 章章 表面和界面题解表面和界面题解 1. 估计 fcc 结构以111、100和110作表面的表面能。设升华热为 LS(J/mol)，点阵常数 为 a。 解：升华热相当把晶体所有结合键断开的能量。设 Ub为平均键能，每摩尔有 N0（亚佛 加德罗常数）个原子，fcc 结构的配位数为 12，所以 2120b SUNL = 即 06NLUS b= 求晶体表面能的式子是 =jqjjqqjjjnq)( A)()(SS21 21VE fcc结构每个晶胞含4个原子，所以原子体积43aVa=。 (1)对于111为表面，单位法线矢量3111=n，它割断最近邻的键矢量为2101a、2110a和2011

2、a。故表面能为 02S b23b )( ASNa33LUa320111101011112a 33 a4 2U V21=+= jqjjnq(2)对于110为表面，单位法线矢量110=n/2，它割断最近邻的键矢量为2101a、2011a、2110a、2101a和4110a，因为(110)面的面间距为4110a，2110a穿过两个(110)面，所以对于110方向的键矢量为4110a。表面能为 02S b23b )( ASN2a125LU2a2511021 110 101 0111011002a 22 a4 2U V21=+= jqjjnq(3)对于100为表面，单位法线矢量100=n，它割断最近邻的

3、键矢量为2101a、2011a、2110a和2101a。故表面能为 02S b23b )( ASNa6L4Ua4101 101 1101011002a a4 2U V21=+= jqjjnq2.简单立方晶体的100轴倾转晶界，晶界上排列柏氏矢量为001的位错的平均距离为4nm， 柏氏矢量为010的位错的平 均距离为8nm， 点阵常数a=0.3nm。 这是具有几个自由度的晶 界?取向差多大?求出晶界的法线与010夹角。 解：右图给出(100)面，晶界的位置如的AB表示，设两晶粒 的取向差为，故AC与CD的夹角为/2；AC与AB的夹角为+/2。设AC长度为1，柏氏矢量为001的位错 n=(DC-A

4、B)/b，即 sin)2cos()2cos(1 bbn+=2柏氏矢量为010的位错n=(ADBC)/b，即 cos)2sin()2sin(1bbn+= 按题意 nm4cos1nm8sin1= b nDb nD上两式相除，得 2cotsincos=故o57.26= 把代入前面式子，得取向差 0839. 057.26sin83 . 0sin=oDb弧度 o81. 41800839. 0= 3. 简单立方晶体中，3个倾转晶界相交1个晶粒棱上，它们两两之间获得取向差的转轴相 同，各晶界与倾转对称位置夹角分别为1、2和3，位错密度分别为1、2和3。求证： iiiisincos+=0 (i=1,2,3)

5、说明用这一式子来验证位错界面模型的优点。如图7-53三个晶界，测量得到如下数据， 根据这些数据验证上述式子。 晶界 与100方向 的夹角 /cm1 CD 6 2.01103 AB 56 1.95103 EF 32.5 4.46103 解：讨论的是简单立方，设各个亚晶界的位向差为i，因为晶粒两两之间的转轴相同，都为100，所以绕三个晶界的相交的晶棱转一圈后没有取向差，即=0i，而)sin(cosiiiib+=，故 0sincos=+= iii ib 即0sincos=+ iii 用这样的式子来验算晶界模型的优点是可以不测定每个晶界两侧的取向差。 验证：把给出的数据代入上式得 0230. 3405

6、. 1829. 15 .32sin5 .32cos46. 4 56sin56cos95. 1 6sin6cos01. 2=+=+oooooo4. 测量Fe和Pb的小角度晶界能和取向差的数据如下，证明它们符合b=E0(A-ln)的关系， 设A1，估计E0值。把估计的E0值和理论计算的E0值作比较。GFe=8.81010Pa， GPb=1.011010Pa，aFe=0.286nm，aPb=0.494nm，设泊桑比都为1/3。 图 7-53 3Fe (度) 2.13 4.73 5.32 5.90 7.69 13.4 /Jm2 0.227 0.473 0.587 0.612 0.761 0.973 P

7、b (度) 2.85 3.42 6.27 8.00 12.00 /Jm2 0.065 0.081 0.115 0.122 0.149 解：b=E0(A-ln)是非线性方程，其形式比较复杂，用正规的拟合方法求式中的系数是很 复杂的，这里用简单的试探办法来求其系数。因为系数A=Wco/E0b，可把它近似看作1。 这样，方程变为b/E0=ln。因为式中的的单位是弧度，所以把题目给出的角度换成 弧度，并且为了试探方便，也算出ln的值。 Fe /Jm2 0.227 0.473 0.587 0.612 0.761 0.973 (弧度) 0.0372 0.08260.09290.10300.13420.23

8、34 ln 0.1224 0.20600.22080.23410.2695 0.3391 Pb /Jm2 0.065 0.081 0.115 0.122 0.149 /弧度 0.0498 0.05970.10940.13960.2094 ln 0.1494 0.16830.24200.27480.3274 对于Fe，根据数据试探得E0约为1.8；对于铅，根据数据试探得E0约为0.35。根据 给出的数据，计算Fe和Pb的理论E0值。首先算出Fe和Pb的柏氏矢量b，Fe属于体心立 方 结 构 ，0.2477nmnm2/3286. 02/3=ab，Pb属 于 面 心 立 方 结 构 ，0.3493n

9、mnm2/2494. 02/2= ab。 Fe： 229100Jm6 . 2Jm)3/11 (4102477. 0108 . 8 )1 (4 =GbE Pb： 229100Jm41. 0Jm)3/11 (4103493. 01001. 1 )1 (4 =GbE 这些数值和实验估算的值接近，但是由于假设A=1，并且对E0没有最佳拟合，故所得的 值是有一定的差距。下面左图和右图分别是Fe和Pb的晶界能与取向差的关系。 5. f.c.c晶体以100为轴转动多大的角度才会出现=5的相符点阵？画图加以证明。 解：对于立方结构点阵，一个点阵L1绕u v w轴转动获得L2，2个穿插点阵能形成某一 值的CSL

10、要满足以下条件 22NYX+= 0510150.20.40.60.81.0 (J/m2 ) (度) (度) 0510150.060.080.100.120.140.16 (J/m2 ) (度) (度) 4)/arctan(2222XNYwvuN=+=现在1222=+=wvuN、= 5，故 =+=)arctan(2522xyyx 可能选择的方案是：x=1、y=2或x=2，y=1。 对于，o87.1262arctan2=，对于，o13.53)21arctan(2=。因为这两者相加为180，即这两者可按任一种角度转动的方向相反获得，而面心立方的100轴包含2此对 称轴，因而它们是等效的。 下图是一个

11、面心立方晶体(黑点）以100轴相对另一面心立方晶体（白点）转动126.87 后相互穿插的(100)面，其中黑点并带号的点是重合的点。从图可以看出，每5个阵点 有一个重合，说明上面的计算是对的。 6. Bi在Cu的晶界上偏聚后按（CCBB0=0.99）使Cu变脆，估算室温下Bi在晶内的浓度为多大?设Cu的晶粒直径约为0.01mm，估计Bi的平均浓度多大时能发生这种现象。设Bi 原子在晶内引起的畸变能为6.6104J/mol，Bi在Cu晶界上的畸变能可忽略，晶界为单原子层，CB01。原子体积约为0.0425nm3。 解：晶界偏聚的式子是：)exp(1CCB0 BB kTG CC CCC=，其中0

12、BC是在晶界的原子位置分数；CB和CC分别是晶界中和晶内的溶质原子分数；G是溶质原子在晶界与在晶内的自 由能差。上式可以改写成 )exp(111CC 0kTG CC CCBB=现在0 BBCC=0.99，G=-6.6104J/mol，T=298K，故 )298314. 8106 . 6exp(1199. 0114CC =CC即 CCCC1110708. 3)1 (99=结果 10 111067. 29910708. 399=+=CC对于平均浓度，首先要把单位晶体内所有溶质原子数计算出来。以立方体表示一个晶粒，设原子体积为，则单位体积中的总原子数为1/；晶界厚度约为3、晶粒直径为d(立5方体的边

13、长)、单位体积中晶界体积为d33，则单位体积中晶界的原子位置数为d33；单位体积中晶粒内的体积为)31 (3d，则单位体积中晶界的原子位置数为/)31(3d。 平均浓度C等于在单位体积中在晶界的Bi原子数加上单位体积中在晶内的Bi原子数再除以单位体积中的总原子数，即 410 6363C3BB3 C3 BB310036. 11067. 2)1001. 00425. 031 (99. 01001. 00425. 03)31 ()/(31)/31 ()/(3 00+=+=+=CddCCCddCCC这说明很低的平均浓度下就会发生这种危害的偏聚。 7. 如果Bi在Cu晶界中含量是饱和浓度的1/3就可以消

14、除Cu的脆性， 问要加热到什么温度 淬火才能消除其脆性? 解：根据晶界偏聚的式子)exp(1CCB0 BB kTG CC CCC=，可以看出晶界偏聚程度随温度温度升高而减小。当晶界的溶质原子浓度降时，晶内的浓度会增加。设晶界的饱和浓度为1，晶界浓度降低为饱和浓度的1/3，即单位体积晶体中有2(d33)/3溶质原子转移进晶内。晶内浓度增加量CC 53633333 C1098. 6 0425. 031001. 00425. 03 3233 32313 32= = = = dddC 因为原来晶内的浓度比这低几个数量级，所以可以近似认为晶界浓度就是 CC。把所有数据代入偏聚浓度式子，即 )314. 8106 . 6exp(1098. 611098. 6 3/113/1455T =即 34 1015. 7)314. 8106 . 6exp(= T故 K5 .894)1015. 7ln(314. 8106 . 634 =T 加热到894.5K后，晶界偏聚可降到不发生脆性的程度。 8. 硫在-Fe晶界中富集，在700C时富集率CCB0为7170；在500C时富集率为15700，估算硫原子与-Fe原子的键合能（答案以kJ/mol表示） 。 解：因为晶界和晶内的浓度都比1小很多，所以用偏聚的简化式子)exp(0BkTGCC=，即)/ln(CBCCRTG=。 在700