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1、专题专题 5 第第 3 讲讲空间向量及其应用（理）空间向量及其应用（理）一、选择题1以下命题中，不正确的命题个数为( )已知 A、B、C、D 是空间任意四点，则 ABCD0BCDA若a，b，c为空间一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；对空间任意一点 O 和不共线三点 A、B、C，若 Oxyz(其中POAOBOCx，y，zR)，则 P、A、B、C 四点共面A0 B1 C2 D3答案 B解析 由向量的加法运算知正确a，b，c 为空间一个基底，则 a，b，c 为两两不共线的非零向量不妨假设 abx(bc)y(ca)，即(1y)a(1x)b(xy)c0.a、b、c 不共面，Error!，
2、不存在实数 x、y 使假设成立，故正确中若加入 xyz1 则结论正确，故错误2如图 ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则 BE1与 DF1所成角的余A1B14弦值是( )A. B.151712C. D.81732答案 A解析 取 D 为空间直角坐标系原点，DA、DC、DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设 AD4，则 B(4,4,0)，E1(4,3,4)，F1(0,1,4)，(0，1,4)，(0,1,4)，BE1DF1|，15，BE1DF117BE1DF1cos.即异面直线 BE1与 DF1所成角的余弦值为.故选 A.BE1DF1151715173在
3、90的二面角的棱上有 A、B 两点，AC，BD 分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱 AB，已知 AB5，AC3，BD4，则 CD( )A5 B5 23C6 D7答案 A解析 由条件知 ACAB，BDAB，ACBD，又 CCAB，DABD2(CAB)2|C|2|A|2|B|2CDABDABD32524250.|C|5，CD5.D224如图所示，已知在直三棱柱 ABOA1B1O1中，AOB ，AO2，BO6，D 为2A1B1的中点，且异面直线 OD 与 A1B 垂直，则三棱柱 ABOA1B1O1的高是( )A3 B4 C5 D6答案 B解析 以、为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立直角坐
4、标系 Oxyz，设直OAOBOO1三棱柱的高为 h，则 A1(2,0，h)，B(0,6,0)，D(1,3，h)，(2,6，h)，(1,3，h)，A1BOD又，(2)163h20，h4 或 h4(舍)，故选 B.A1BOD5(2011山东济南)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于( )A. B. 1323C. D.3323答案 B解析 如图，设 A1在面 ABC 内的射影为 O，以 O 为坐标原点，OA、OA1分别为 x 轴、z 轴建立空间直角坐标系设ABC 边长为1，则 A(，0,0)，B
5、1(，)，33321263(，)AB15 361263面 ABC 的法向量 n(0,0,1)，则 AB1与底面 ABC 所成角 的正弦值为sin|cos，n|.AB16375361469236如图所示，在四面体 PABC 中，PC平面 ABC，ABBCCAPC，那么二面角 BAPC 的余弦值为( )A. B.2233C. D.7757答案 C解析 如图，作 BDAP 于 D，作 CEAP 于 E，设 AB1，则易得 CE，EP，PAPB，AB1，22222可以求得 BD，ED.14424，BCBDDEEC222.BC2BD2DE2EC2BDDEDEECECBD .ECBD14cos， .DBE
6、C777已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E 是侧棱 BB1的中点，则直线 AE 与平面 A1ED1所成角的大小为( )A60 B90 C45 D以上都不正确答案 B解析 以点 D 为原点，DA、DC、DD1分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，(0,1，1)，(1,1，1)，A1ED1E设平面 A1ED1的一个法向量为 n(x，y，z)，则Error!Error!令 z1，得 y1，x0.所以 n(0,1,1)，cos1.AnEA|n|EA|22 2所以180
7、，所以直线 AE 与平面 A1ED1所成的角为 90.A8正四棱锥 SABCD 的侧棱长为，底面的边长为，E 是 SA 的中点，则异面直23线 BE 和 SC 所成的角等于( )A30 B45 C60 D90答案 C解析 设 S 在底面的射影为 O，以 O 为原点，建立空间直角坐标系 Oxyz 如图，则 AO，OS，6226422A(，0,0)，S(0,0，)，C(，0,0)，622262E 点坐标为(，0，)，B(0， ，0)，642462B(，)，S(，0，)，E646224C6222cos ，ECBESC|BE|SC|12120.EC异面直线 BE 与 SC 的夹角为 60.二、填空题9
8、如图所示，平行六面体 A1B1C1D1ABCD 中，M 分 A所成的比为 ，N 分所C12A1D成的比为 2，设 Aa，Ab，c，试用 a，b，c 表示 M为_BDAA1N答案 a b c131313解析 MMNAAA1A1N A13CAA123A1D (AA) ()13BDAA123A1AA1D1 A A13B13D13AA1 a b c13131310(2011郑州模拟)底面是正方形的四棱锥 ABCDE 中，AE底面 BCDE，且AECDa，G、H 分别是 BE、ED 的中点，则 GH 到平面 ABD 的距离是_答案 a36解析 建立如图所示的坐标系，则有 A(0,0，a)，B(a,0,0
9、)，G( ，0,0)，D(0，a,0)a2设平面 ABD 的法向量为 n(x，y，z)由题意知 GHBD，则有 GH面 ABD，所以 GH 到平面 ABD 的距离等于 G 点到平面ABD 的距离，设为 d.(a,0，a)，(a，a,0)，( ，0,0)，ABBDGBa2由Error!得Error!，n(1,1,1)d.|GBn|n|a2|3a2 33a611(2009四川理，15)如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M 是侧棱 CC1的中点，则异面直线 AB1和 BM 所成的角的大小是_答案 90解析 作 ADBC 垂足为 D，连结 B1D，则 AD平面 BC1，在正方形
10、BB1C1C 中可证B1BDBCM.B1DBMBC90.B1DBM.由三垂线定理得 B1ABM，故异面直线 AB1与 BM 成 90角(也可以建立如图所示空间直角坐标系，向量法求解)12在四面体 ABCD 中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB ，32则二面角 ABCD 的大小等于_答案 3解析 如图，因ABCDCB ，所以 ABBC，DCBC.因此向量 B，C的2AD夹角就是二面角 ABCD 的大小，而 BCB(BB)BBBBBADADCADACB，又 BD，AD13所以DAB ，2于是 BCBB11，ADAD13113所以 cos ，AD11 212故二面角 ABCD 的大小等于
11、 .3三、解答题13(2011辽宁理，18)如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAAB PD.12(1)证明：平面 PQC平面 DCQ；(2)求二面角 QBPC 的余弦值解析 如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 OA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz.(1)依题意有 Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)DQDCPQ所以0，0.PQDQPQDC即 PQDQ，PQDC.故 PQ平面 DCQ.又 PQ平面 PQC，所以平面 PQC平面 DCQ。(2)依题意有 B(1,0,1
12、)，(1,0,0)，(1,2，1)CBBP设 n(x，y，z)是平面 PBC 的法向量，即Error!即Error!因此可取 n(0，1，2)设 m 是平面 PBQ 的法向量，则Error!可取 m(1,1,1)，所以 cosm，n.155故二面角 QBPC 的余弦值为.15514(2011北京理，16)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面 PAC；(2)若 PAAB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；(3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长解析 (1)因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACB
13、D.又因为 PA平面 ABCD.所以 PABD.因为 PAACA，所以 BD平面 PAC.(2)设 ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以 BO1，AOCO.3如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 P(0，2)，3A(0，0)，B(1,0,0)，3C(0， ，0)3所以(1， ，2)，PB3(0,2，0)，AC3设 PB 与 AC 所成角为 ，则 cos.|PBAC|PB|AC|62 2 2 364(3)由(2)知(1， ，0)BC3设 P(0，t)，(t0)，则(1，t)3BP3设平面 PBC 的法向量 m(x，y，z)，则m0，m0，BCBP所以Error!令
14、y，则 x3，z .所以 m(3， ， )36t36t同理，平面 PDC 的法向量 n(3， ， )36t因为平面 PBC平面 PDC.所以 mn0，即60.解得 t.36t26所以 PA.615(2010江西理，20)如图，BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面MCD平面 BCD，AB平面 BCD，AB2.3(1)求点 A 到平面 MBC 的距离；(2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值解析 解法一：(1)取 CD 中点 O，连 OB，OM，则OBOM，OBCD，MOCD，3又平面 MCD平面 BCD，则 MO平面 BCD，所以 MO AB，MO平面ABC，M、O
