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1、欢迎登录100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.第八节第八节 导数的概念与运算导数的概念与运算【热点聚焦热点聚焦】导数是高中数学的一个重要内容，导数的本身已经成为解决数学问题的重要工具，不论是 研究函数的性质，还是解决不等式的证明问题和方程根的判断问题，还是解决曲线的切线问题， 导数都发挥着非常重要的作用，所以在最近几年的高考试题中，对导数的考查逐步加强，从题 量和题目的难度上都有了很大的提高，在全国各地的高考试卷中都有关于导数的试题。对导数 的考查形式是多种多样，难易均有，可以在选择题与填空题中出现，主要考查导数的运算、导 数的几何意义，导数的应用(主要研究函数的单调性、极值与最值等
2、)；也可以在解答题中出现， 有时候作为压轴题，这时主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、数列、解析几何等联 系在一起。【基础知识基础知识】1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量 y；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数（x0）=.xy f 0lim xxy 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线斜率. 物理意义：若物体运动方程是 s=s（t） ，在点 P（i0，s（t0） ）处导数的意义是 t=t0处的瞬时速度.3常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C 为常数)；, nN N+；; 0C1)
3、(nnnxxxxcos)(sinxxsin)(cos; ; ; . xxee)(aaaxxln)(xx1)(lnexxaalog1)(log法则 1 (和与差的导数等于导数的和与差)()()()(xgxfxgxf法则 2 .(前导后不导，后导前不导，中间是加号)()()()( )()(xgxfxgxfxgxf法则 3 (分母平方要记牢，上导下不导，下导)0)()()()()()()()(2xgxgxgxfxgxf xgxf上不导，中间是减号)4在对导数的概念进行理解时，特别要注意与是不一样的，代表函数0()fx0( ()f x0()fx在处的导数值，不一定为 0 ；而是函数值的导数，而函数值(
4、 )f x0xx0( ()f x0()f x是一个常量，其导数一定为 0，即=0。0()f x0( ()f x【课前训练课前训练】1 （2006 年四川卷）曲线在点处的切线方程是（ ）34yxx1, 3 （A） （B） （C） （D）74yx72yx4yx2yx2曲线 y=x3的切线中斜率等于 1 的直线 A不存在 B存在，有且仅有一条 C存在，有且恰有两条 D存在，但条数不确 定 3曲线 y=x3+x2 在点 P0处的切线平行于直线 y=4x1,则 P0的坐标是（ ） A.(1,0) B.(1,0) 或(1,4) C.(1,0)或(1,4) D.(1,4)4某物体的运动方程为（位移单位：m，
5、时间单位：s） ，则它在 t2s 时的速度为 25)(tts 5两曲线 y=x2+1 与 y=3x2在交点处的两切线的夹角的正切值是 .【试题精析试题精析】【例 1】曲线 y=x2+4x 上有两点 A（4，0） 、B（2，4）.求： （1）割线 AB 的斜率 kAB及 AB 所在直线的方程； （2）在曲线 AB 上是否存在点 C，使过 C 点的切线与 AB 所在直线平行?若存在，求出 C 点的坐 标；若不存在，请说明理由.【例 2】已知函数在处的导数值与函数值互为相反数，求的值。xeyx0xx0x剖析剖析可先求出函数的导函数，然后根据条件建立关于的方程进行求解. xeyx0x欢迎登录100 测
6、评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.评注评注 导数的运算是导数应用的前提，因步应熟练掌握导数的运算法则以及常见函数的求导公式，近几年的高考试题中，对于等函数导数的考查较为频繁，因此应掌握与,lnxyeyx这两个函数有关的导数运算.【例 3】已知曲线.314 33yx(1) 求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程。(2,4)P(2,4)P剖析剖析 “该曲线过点的切线”与“该曲线在点处的切线方程”是有区别的：过(2,4)P(2,4)P点的切线中，点不一定是切点；在点处的切线中，点是切点。(2,4)P(2,4)P(2,4)P(2,4)P评注评注(1)求函数图象上点处的切线方程的关键在于
7、确定该点切线处的斜率( )f x00(,()P xf x，由导数的几何意义知，故当存在时，切线方程为k0()kfx0()fx求曲线的切线要注意“过点的切线”与“点处的切线”的差异.000()()().yf xfxxxPP过点的切线中，点不一定是切点，点也不一定在已知曲线上；点处的切线，点是切PPPPP 点。 (2)要准确理解曲线切线的概念，如直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，一方面， 直线与曲线只有一个公共点 直线是曲线的切线，例如：抛物线的对称轴与其抛物线有且仅 有一个交点，但对称轴不是抛物线的切线；另一方面，直线是曲线的切线 直线与曲线有且仅有一个公共点，例如本题中曲线与其切线有两
8、个公共点，440yx(2,4),( 4, 20)PM 又如曲线与其切线有无数个公共点!曲线未必在其切线的“同侧” ，例如直线sinyx1y 虽然“穿过”曲线，但它却是曲线在点(0,0)处的切线。0y 3yx3yx(3)要深入体会切线定义中的运动变化思想：两个不同的公共点两公共点无限接近两公 共点重合(切点)；割线切线。【例 4】在曲线 y=x3x 上有两个点 O(0，0)、A(2，6)，求弧 OA 上点 P 的坐标，使AOP 的面 积最大. 剖析剖析本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义.由于|OA|是定值,所以若将点 P 的 位置转化到与曲线 y=x3x 相切且与 OA 平行的位置，
9、此时点 P 到|OA|的距离最大;也可设点，构 造目标函数求最值.评注评注利用导数求曲线的切线方程，几乎是新课程高考每年必考的内容，既有可能出现在选 择、填空题中，也有可能出现在解答题中. 在这类问题中，导数所担负的任务是求出其切线的斜 率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法与解析几何的基本思想。 【例 5】若直线 y=3x+1 是曲线 y=x3a 的一条切线，求实数 a 的值.欢迎登录100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.【例 6】已知抛物线或，如果直线 同时是和的切线，则2 1:2Cyxx2 2:Cyxa l1C2C称 是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
10、l1C2C(1)取什么值时和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；a1C2C(2)若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。1C2C剖析剖析分别求曲线和的切线方程，由于和有且仅有一条公切线，从而列出方程组，1C2C1C2C求解的取值，进行得到公切线方程；而对于证明相应的两条公切线段互相平分的问题，只需a 要证明这两条切线的中点是同一点即可.评注评注可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数在处的导数表示曲线在点( )yf x0xx处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程，可按如下00(,()P xf x( )yf x00(,()P xf x方式求得： 第一，求出函数在处的导数，即曲线在点
11、处切线的斜率；( )yf x0xx( )yf x00(,()P xf x第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程；000()()yyfxxx如果曲线在点的切线平行于轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可( )yf x00(,()P xf xy知，切线的方程为.0xx【针对练习针对练习】1y=ln, 则 y 等于（ ）x1. B.-x C. D. x1 112xx12已知 f(x)=sinx，则 f(1)=( )3xA .+cos1 B. sin1+cos1 C. sin1-cos1 D.sin1+cos131 31 313 （2006 年安徽卷）若曲线的一条切线 与直线垂直，则 的
12、方程为4yxl480xylA B C D430xy450xy430xy430xy4曲线 y=x3+3x2+6x10 的切线中，斜率最小的切线方程是（ ） A.3x+y10=0B.3xy11=0 C.x=1D.不存在5 （2006年全国II）过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为21yxx（A） （B） （C） （D）220xy330xy10xy 10xy 6 （2006 年福建卷）已知直线与抛物线相切，则10xy 2yax_.a 7 （2006 年湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积1yx2yxx是 .8 （2006 年湖北卷）半径为 r 的圆的面积 S(r)r2
13、,周长 C(r)=2r，若将 r 看作(0，)上的欢迎登录100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.变量，则(r2)2r （1） （1）式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球，若将 R 看作(0，)上的变量，请你写出类似于（1）的式子：（2） （2）式可以用语言叙述为： 。9 （2004年高考重庆卷）已知曲线，求过点P（2，4）的切线方程.314 33yx10曲线 y=x2+1 上过点 P 的切线与曲线 y=2x21 相切，求点 P 的坐标. 第八节参考答案第八节参考答案【课前训练课前训练】1答案：D 解析：曲线，导数，在点处的切线的斜率为34yxx
14、243yx1, 3 ，所以切线方程是，选 D.1k 2yx2答案：C 3答案：B 4答案：20m/s 5答案：4 5 【试题精析试题精析】【例 1】解：（1）kAB=2，y=2（x4）所求割线 AB 所在直线方程为 2x+y8=0.4204 （2）=2x+4，2x+4=2，得 x=3，y=32+34=3.yC 点坐标为（3，3） ，所求切线方程为 2x+y9=0.【例 2】解：解：由于 ，所以，又，xeyx00 0()xef xx2(1)xexyx 0 0 02 0(1)()xexfxx依题意得，即，得。00()()0f xfx00 0 2 00(1)0xxexe xx0210x 01 2x 【例例 3】解：解：(1)所求切线的斜率为，故所求的曲线的切线方程为2 2|24xy即44(2)yx440.xy(2)设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为314 33yx(2,4)P3 0014(,)33A xx ，切线方程为，因为点在切线上，所以 02 0|x xkyx32
