《高中必修错误解题分析系列《 几何概型及互斥事件的概率》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中必修错误解题分析系列《 几何概型及互斥事件的概率》（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.59.5 几何概型及互斥事件的概率几何概型及互斥事件的概率 一、知识导学一、知识导学 1. 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一 点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述 区域内的某个指定区域中的点这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等用这种 方法处理随机试验，称为几何概型. 一般地，在几何区域 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域内” 为事件，则事件 发生的概率（） 的测度的测度 Dd这里要求 的测度不为，其中“测度”的意义依 确定，当 分别是线段、平面 图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、
2、面积和体积等 2互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件 A、B、C，其中任何两个都是互斥事件，则说事件 A、B、C 彼此互斥.当 A，B 是互斥事件时，那么事件 AB 发生（即 A，B 中有一个发生）的概率，等于 事件 A，B 分别发生的概率的和.P（AB）P（A）P（B）. 如果事件 A1、A2、A彼此互斥，那么事件 A1A2A发生（即 A1、A2、A中有一个发生）的概率，等于这个事件分别发生的概率的和.3对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件 A 的对立事件通常记着.A对立事件的概率和等于 1.P（）1P（A）A4相互独立事件：事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发
3、生的概率没有影响，这样 的两个事件叫做相互独立事件. 当 A，B 是相互独立事件时，那么事件 AB 发生（即 A，B 同时发生）的概率，等 于事件 A，B 分别发生的概率的积.P（AB）P（A）P（B）.如果事件 A1、A2、A相互独立，那么事件 A1A2A发生（即 A1、A2、A同时发生）的概率，等于这个事件分别发生的概率的积. 5独立重复试验 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P，那么在次独立重复试验中这个试验恰 好发生次的概率knkk nnkPCkP)1 ()(二、疑难知识导析二、疑难知识导析 1对互斥事件、对立事件的理解： 从集合角度看，事件 A、B 互斥，就是它们相应集合的交集
4、是空集（如图 1）；事件 A、B 对立，就是事件 A 包含的结果的集合是其对立事件 B 包含的结果的补集（如图 2）.“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的 两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件， 但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.根据对立事件的意义，（A）是一必然事件，那它发生的概率等于 1，又由于 A 与A互斥，于是有 P（A）P（）P（A）1，从而有 P（）1P（A）.当某AAAA一事件的概率不易求出或求解比较麻烦，但其对立事件的概率较容易求出时，可用此公式， 转而先求
5、其对立事件的概率. 2对相互独立事件的理解： 相互独立事件是针对两个事件而言的，只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性， 即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.若 A、B 两事件相互独立，则A 与、与 B、与也都是相互独立的.BAAB3正确理解 AB 与 AB 的关系：设 A、B 是两个事件，则 AB 表示这样一个事件，它的 发生表示 A 与 B 同时发生；而 AB 表示这一事件是在 A 或 B 这两个事件中，至少有一个发 生的前提下而发生的.公式 P（AB）P（A）P（B）与 P（AB）P（A）P（B）的 使用都是有前提的. 一般情况下，P（AB） 1P（）BAP（A）P（
6、B）P（AB）它可用集合中的韦恩图来示意.三、经典例题导讲三、经典例题导讲 例例 1 1 从 0,1，2,3 这四位数字中任取 3 个进行排列，组成无重复数字的三位数，求排 成的三位数是偶数的概率. 错解：错解：记“排成的三位数是偶数”为事件 A，P（A）.3 42 31 2 AAA 21错因错因: :上述解法忽略了排成的三位数首位不能为零. 正解：正解：记“排成的三位数的个位数字是 0”为事件 A，“排成的三位数的个位数字是 2”为 事件 B，且 A 与 B 互斥，则“排成的三位数是偶数”为事件 AB，于是P（AB）P（A）P（B）.2 31 32 3 AAA2 31 32 21 2 AAA
7、A 95 例例 22 从 1,2，3，,100 这 100 个数中，随机取出两个数，求其积是 3 的倍数的概率. 错解错解：从 1,2，3，,100 这 100 个数中，随机取出两个数，其积是 3 的倍数，则须所取两 数至少有一个是 3 的倍数. 记事件 A 为任取两整数相乘为 3 的倍数，则P（A）50332 1001 991 33CCC错因错因: : 这里相关的排列组合问题没有过关.正解正解：基本事件数有种.在由 1 到 100 这 100 个自然数中，3 的倍数的数组成的集合 M2 100C中有 33 个元素，不是 3 的倍数组成的集合 N 中有 67 个元素，事件 A 为任取两整数相乘
8、为3 的倍数，分两类：（1）取 M 中 2 个元素相乘有种；（2）从集合 M、N 中各取 1 个元2 33C素相乘有种.因为这两类互斥，所以1 671 33CCP（A）.150832 1001 671 332 33 CCCC 例例 33 在房间里有 4 个人，问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少？解：解：由于事件 A“至少有两个人的生日是同一个月”的对立事件是“任何两个人的生日A都不同月”.因而 至少有两个人的生日是同一个月的概率为：P（A）1P（）11.A44 12 12A 9641 9655 例例 44 某单位 6 名员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是 0.5（相互独立）
9、. 求（1）至少 3 人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于 0.3？ 解：解：（1）至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率，即11.60 65 . 0C61 65 . 0C62 65 . 0C3221 641561（2）6 人同时上网的概率为0.3；6415 . 066 6C至少 5 人同时上网的概率为0.3；66 65 . 0C6475 . 065 6C至少 4 人同时上网的概率为0.3.66 65 . 0C65 65 . 0C32115 . 064 6C故至少 5 人同时上网的概率小于 0.3. 说明：说明：本题是 2002 年全国高考新课程卷试题
10、，以互联网为题设的背景，有很强的时代气息.所 提出的问题（至少几人同时上网）难度适当，切合考生的实际.解答时应具备适度的逻辑思 维能力，体现了以素质和能力为考查重点的试题设计理念. 例例 55设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为 0.9、0.8，求： （1）目标恰好被甲击中的概率；（2）目标被击中的概率. 解：解：设事件 A 为“甲击中目标”，事件 B 为“乙击中目标”. 由于甲、乙两射手独立射击，事件 A 与 B 是相互独立的，故 A 与、与 B 也是相互独立的.BA（1）目标恰好被甲击中，即事件 A发生.BP（A）P（A）P（）0.9（10.8）0.18.BB目标恰好
11、被甲击中的概率为 0.18.（2）目标被击中即甲、乙两人中至少有 1 人击中目标，即事件 A、B、AB 发生.BA由于事件 A、B、AB 彼此互斥，BA所以目标被击中的概率为P（ABAB）P（A）P（B）P（AB）BABAP（A）P（）P（）P（B）P（AB）BA0.90.20.10.80.90.80.98. 评注：评注：运用概率公式求解时，首先要考虑公式的应用前提.本题（2）也可以这样考虑：排除甲、乙都没有击中目标.因为 P（）P（）P（）0.10.20.02.ABAB所以目标被击中的概率为1P（）10.020.98.AB 例例 66（06 年高考四川）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部
12、分考核成绩只记“合 格”与“不合格” ，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在 理论考核中合格的概率分别为 0.9，0.8，0.7；在实验考核中合格的概率分别为 0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数） 解：解： 记“甲理论考核合格”为事件 A1，“乙理论考核合格”为事件 A2，“丙理论考核合 格”为事件 A3，“甲实验考核合格”为事件 B1，“乙实验考核合格”为事件 B2，“丙实验 考核合格”为事件 B3.（1）记“理论考核中至少有两人合格”
13、为事件 C.则 P（C）P（A1 A2 A1 A3 A2 A3A1 A2 A3）3A2A1AP（A1 A2 ）P（A1 A3）P（ A2 A3）P（A1 A2 A3）3A2A1A0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7 0.902（2）记“三人该课程考核都合格”为事件 D. 则 P（D）P（A1B1）（A2B2）（A3B3） P（A1B1）P（A2B2）P（A3B3） P（A1）P（B1）P（A2）P（B2）P（A3）P（B3） 0.90.80.80.80.70.90.254 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902；这三人该课程考核都合格的概率为 0
14、.254。四、典型习题导练四、典型习题导练 1 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A至少有 1 个黑球，都是黑球 B至少有 1 个黑球，至少有 1 个红球 C恰有 1 个黑球，恰有 2 个红球 D至少有 1 个黑球，都是红球 2 取一个边长为的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒a豆子，求豆子落入圆内的概率3 某小组有男生 6 人，女生 4 人，现从中选出 2 人去开会，求至少有 1 名女生的概率. 4设有编号分别为 1,2，3,4，5 的五封信，另有同样编号的五个信封，现将五封信任意 装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率. 5某班级有 52 个人，一年若按 365 天计算，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多 大？ 6九个国家乒乓球队中有 3 个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组 3 队）进行预 赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲国家队的概率；（2）至少有两个亚洲国家队分在同 一组的概率.
