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1、14.34.3 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质2014 高考会这样考 1.考查三角函数的图象：五点法作简图、图象变换、图象的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想复习备考要这样做 1.会作三角函数的图象，通过图象研究三角函数性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论图象、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用1 “五点法”作图原理在确定正弦函数ysin x在0,2上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、(，0)、(2，0)余弦函数呢？( 2，1)(3 2，1)2 三角函数的图象和性质函数 性质ysin xyc
2、os xytan x定义域R RR Rx|xk，k 2Z Z图象值域1,11,1R R对称性对称轴：xk(kZ Z)； 2对称中心：(k，0)(kZ Z)对称轴：xk(kZ Z)；对称中心：(k，0) 2(kZ Z)对称中心：(kZ Z)(k 2，0)周期22单调性单调增区间2k单调增区间2k，2k 单调增区间2，2k 2 2(kZ Z)；单调减区间2k，2k 23 2(kZ Z)(kZ Z)；单调减区间2k，2k(kZ Z)(k，k) 2 2(kZ Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数难点正本 疑点清源1 函数的周期性若f(xT)f(x) (0)，常数T不能说是函数f(x)的周期因为f(xT)f，即
3、自变量由x增加到x，是函数的周期(xT )T T 2 求三角函数值域(最值)的方法(1)利用 sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把 sin x或 cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题1 设点P是函数f(x)sin x (0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是_ 4答案 解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的 ，故1 4f(x)的最小正周期为T4. 42 函数y23cos的
4、最大值为_，此时x_.(x 4)答案 5 2k，kZ Z3 4解析 当 cos1 时，函数y23cos取得最大值 5，此时(x 4)(x 4)x2k (kZ Z)，从而x 2k，kZ Z. 43 433 (2012福建)函数f(x)sin的图象的一条对称轴是(x 4)( )Ax Bx Cx Dx 4 2 4 2答案 C解析 方法一 正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令xk，kZ Z，xk，kZ Z. 4 23 4取k1，则x. 4方法二 用验证法x时，ysin0，不合题意，排除 A； 4( 44)x时，ysin，不合题意，排除 B； 2( 24)22x时，ysin1，符合题意，C
5、项正确； 4( 44)x时，ysin，不合题意，故 D 项也不正确 2( 24)224函数ytan的定义域为( )( 4x)Ax|xk，kZ Z Bx|x2k，kZ Z 4 4Cx|xk，kZ Z Dx|x2k，kZ Z 4 4答案 A解析 令xk，kZ Z， 4 2xk，kZ Z. 45 给出下列四个命题，其中不正确的命题为( )若 cos cos ，则2k，kZ Z；函数y2cos的图象关于x对称；(2x 3) 12函数ycos(sin x)(xR R)为偶函数；函数ysin|x|是周期函数，且周期为 2.A B4C D答案 D解析 命题：若，则 cos cos ，假命题；命题：x，cos
6、 12cos 0，故x不是y2cos的对称轴；命题：函数(2x 3) 2 12(2x 3)ysin|x|不是周期函数题型一 三角函数的定义域、值域问题例 1 (1)求函数ylg sin 2x的定义域；9x2(2)求函数ycos2xsin x 的最大值与最小值(|x| 4)思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数解 (1)由Error!，得Error!3x0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答列不等式的原则：把“x (0)”视为一个“整体” ；A0 (A0，a0 或a0，则Error!，解得Error!；7 分若a0 或a0)
7、的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)ysin；(2)ysin.(2x 4)( 42x)3利用换元法求三角函数最值时注意三角函数的有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，则y(t2)211，解法错误11A 组 专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1 函数y的定义域为( )cos x12A. 3，3B.，kZ Zk 3，k3C.，kZ Z2k 3，2k3DR R答案 C解析 由题意得 cos x ，1 2即 2kx2
8、k，kZ Z， 3 3故函数定义域为，kZ Z.2k 3，2k32 ysin的图象的一个对称中心是( )(x 4)A(，0) B.(3 4，0)C. D.(3 2，0)( 2，0)答案 B解析 ysin x的对称中心为(k，0) (kZ Z)，令xk (kZ Z)，xk (kZ Z)， 4 4由k1，x得ysin的一个对称中心是.3 4(x 4)(3 4，0)3 (2011山东)若函数f(x)sin x (0)在区间上单调递增，在区间0， 312上单调递减，则等于 3，2( )A. B. C2 D32 33 2答案 B解析 f(x)sin x(0)过原点，当 0x，即 0x时，ysin x是增
9、函数； 2 2当x，即x时，ysin x是减函数 23 2 23 2由f(x)sin x (0)在上单调递增，0， 3在上单调递减知， . 3，2 2 33 24 函数f(x)cos 2xsin是 ( )(5 2x)A非奇非偶函数B仅有最小值的奇函数C仅有最大值的偶函数D有最大值又有最小值的偶函数答案 D解析 f(x)cos 2xsin2cos2x1cos x22 .显然有最大(5 2x)(cos x1 4)9 8值又有最小值，而且在 R R 上有f(x)f(x)，所以正确答案为 D.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 函数ylg(sin x)的定义域为_cos x12答案 (kZ
10、Z)(2k， 32k解析 要使函数有意义必须有Error!，即Error!，解得Error!(kZ Z)，2k0)和g(x)2cos(2x)1 的图象的对称轴完全 613相同若x0，则f(x)的取值范围是_ 2答案 ，33 2解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同，2，f(x)3sin(2x) 6由x0，得2x ， 2 6 65 6 f(x)3.3 27 函数f(x)2sin x(0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那0， 43么_.答案 4 3解析 因为f(x)2sin x (0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是0， 4，所以 2sin ，且 00)的图象向右平移个单位长度，所
11、得图 4象经过点，则的最小值是(3 4，0)( )A. B1 C. D21 35 3答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为ysin ，(x 4)将代入得 sin 0，则2k，kZ Z，且0，(3 4，0) 2故的最小值为 2.152 (2012上海)若Snsin sin sin (nN N* *)，则在S1，S2，S100中， 72 7n 7正数的个数是 ( )A16 B72 C86 D100答案 C解析 易知S10，S20，S30，S40，S50，S60，S70.S8sin sin sin sin 72 77 78 7sin sin sin 0，2 73 77 7S9sin sin si
12、n 0，3 74 77 7S10sin sin 0，4 77 7S11sin sin sin 0，5 76 77 7S12sin sin 0，6 77 7S13sin 0，7 7S14sin sin 0，7 714 7S1，S2，S100中，S130，S140，S270，S280，S410，S420，S550，S560，S690，S700，S830，S840，S970，S980，共 14 个在S1，S2，S100中，正数的个数是 1001486(个)3 已知函数f(x)2sin x(0)在区间上的最小值是2，则的最小值等 3，4于( )A. B. C2 D32 33 2答案 B解析 f(x)2
13、sin x (0)的最小值是2，x，kZ Z，kZ Z，2k 2 32k 2 46k 且8k2，kZ Z，min ，故选 B.3 23 216二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)4 函数y2sin(3x) (|cos x时，f(x)sin x.给出以下结论：f(x)是周期函数；f(x)的最小值为1；当且仅当x2k (kZ Z)时，f(x)取得最小值；当且仅当 2k0； 2f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2.其中正确的结论序号是_答案 解析 易知函数f(x)是周期为 2 的周期函数函数f(x)在一个周期内的图象如图所示由图象可得，f(x)的最小值为，当且仅当x2k (kZ Z)时，f(x)取得最小225 4值；当且仅当 2k0；f(x)的图象上相邻两个最低 2点的距离是 2.所以正确的结论的序号是.三、解答题7 (13 分)已知a0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)(2x 6)0，
