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1、12 20 01 13 3 年年线线性性代代数数必必考考的的知知识识点点 1 1、行行列列式式1.行列式共有个元素,展开后有项项,可分解为行列式;n2n!n2n 2.代数余子式的性质: 、和的大小无关;ijAija、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为 0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;A3.代数余子式和余子式的关系:( 1)( 1)ijij ijijijijMAAM 4.设行列式:nD将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;D1D(1) 2 1( 1)n n DD 将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;D90o2D(1) 2 2( 1)n n DD 将
2、主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;D3D3DD将主副角线翻转后,所得行列式为,则;D4D4DD5.行列式的重要公式: 、主对角行列式:主对角元素的乘积;、副对角行列式:副对角元素的乘积;(1) 2( 1)n n 、上、下三角行列式():主对角元素的乘积; 、和:副对角元素的乘积; (1) 2( 1)n n 、拉普拉斯展开式:、AOACA BCBOB( 1)m nCAOAA BBOBC g、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;、特征值;6.对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;nA1( 1)n nkn k k kEASkSk7.证明的方法:0A 、;AA 、反证法;、构造齐次方程组,证
3、明其有非零解;0Ax 、利用秩,证明;( )r An、证明 0 是其特征值; 2 2、矩矩阵阵1.是阶可逆矩阵:An (是非奇异矩阵);0A (是满秩矩阵)( )r An 的行(列)向量组线性无关; A齐次方程组有非零解;0Ax ,总有唯一解;nbR Axb 与等价; AE可表示成若干个初等矩阵的乘积; A的特征值全不为 0; A是正定矩阵;TA A2的行(列)向量组是的一组基; AnR是中某两组基的过渡矩阵; AnR2.对于阶矩阵: 无条件恒无条件恒成立;nA*AAA AA E3.1 *111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABB
4、A4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5.关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:AB若,则:12sA AAA O、;12sAA AAL、;1 1 1 121 sA AAA O、;(主对角分块)111AOAO OBOB、;(副对角分块)111OAOB BOAO、;(拉普拉斯)11111ACAA CB OBOB、;(拉普拉斯)11111AOAO CBB CAB3 3、矩矩阵阵的的初初等等变变换换与与线线性性方方程程组组1.一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:;mnArm nEOFOO 等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标
5、准形为其形状最简单的矩阵;A对于同型矩阵、,若;AB( )( )r Ar BAB:2.行最简形矩阵: 、只能通过初等行变换获得;、每行首个非 0 元素必须为 1;、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0;3.初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)、若,则可逆,且;(,)(,)r A EE X:A1XA、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;( ,)A BAEB1A B1( ,)(,)c A BE A B、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;nnAxb( , )(, )r A bE x:A1xA b4.初等矩阵和对角矩阵的概念: 、初等矩阵是
6、行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素; 12n O AiAiA3、对调两行或两列,符号,且,例如:;( , )E i j1( , )( , )E i jE i j111 1111 、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;( ( )E i k11( ( )( ( )E i kE ik1111(0)11kkk、倍加某行或某列,符号,且,如:;( ( )E ij k1( ( )( ()E ij kE ijk111 11(0) 11kk k 5.矩阵秩的基本性质: 、;0()min(, )m nr Am n、;()( )Tr A
7、r A、若,则;AB:( )( )r Ar B、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩可逆矩阵不影响矩阵的秩)PQ( )()()()r Ar PAr AQr PAQ、;()max( ( ), ( )( ,)( )( )r A r Br A Br Ar B、;()()( )( )r ABr Ar B、;()()min( ( ), ( )r ABr A r B、如果是矩阵,是矩阵,且,则:()AmnBns0AB 、的列列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);B0AX 、( )( )r Ar Bn、若、均为阶方阵,则;ABn()( )( )r ABr Ar Bn6.三种特殊矩阵的方幂: 、秩为
8、 1 的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)列矩阵(向量)行矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;、型如的矩阵:利用二项展开式;1 01 001ac b 二项展开式:;01111110()n nnnmn mmnnnnmmn m nnnnnn mabC aC abC abCa bC bC a bLL注:、展开后有项;()nab1n、0(1)(1)!11 2 3!()!L L g g g L gmn nnnn nnmnCCCmm nm、组合的性质:;11 11 02 n mn mmmmrnrr nnnnnnnn rCCCCCCrCnC、利用特征值和相似对角化:7.伴随矩阵:、伴随矩阵的秩:
9、;*( ) ()1( )1 0( )1nr An r Ar An r An 、伴随矩阵的特征值:;*1*(,)AAAXX AA AA XX、*1AA A1*nAA8.关于矩阵秩的描述:A 、,中有阶子式不为 0,阶子式全部为 0;(两句话)( )r AnAn1n4、,中有阶子式全部为 0;( )r AnAn、,中有阶子式不为 0;( )r AnAn9.线性方程组:,其中为矩阵,则:AxbAmn 、与方程的个数相同,即方程组有个方程;mAxbm、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程;nAxbn10. 线性方程组的求解:Axb 、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换只能使用初等行变换)
10、;B、齐次解为对应齐次方程组的解;、特解:自由变量赋初值后求得;11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:nmn、;11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xb a xa xaxbaxaxaxb L L L L L L L L L L L L L L、(向量方程,为矩阵,个方程,个未知数)1112111212222212nnmmmnmmaaaxb aaaxbAxbaaaxb L L MMOMMM LAmnmn、(全部按列分块,其中);12 12nnx xaaax LM12nbbb M、(线性表出)1122nna xa xa x L、有解的充要条件:(为
11、未知数的个数或维数)( )( ,)r Ar An n4 4、向向量量组组的的线线性性相相关关性性1.个维列向量所组成的向量组:构成矩阵;mnA12,m Lnm12(,)mA L 个维行向量所组成的向量组:构成矩阵;mnB12,TTT m Lmn12TTT mB M含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2.、向量组的线性相关、无关有、无非零解;(齐次线性方程组)0Ax 、向量的线性表出是否有解;(线性方程组)Axb 、向量组的相互线性表示是否有解;(矩阵方程)AXB 3.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解;(例 14)m nAl nB0Ax 0Bx 101P4.;(例 15
12、)()( )Tr A Ar A101P5.维向量线性相关的几何意义:n 、线性相关; 0 、线性相关坐标成比例或共线(平行);, , 、线性相关共面;, , 6.线性相关与无关的两套定理: 若线性相关,则必线性相关;12,s L121,ss L若线性无关,则必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)12,s L121,s L若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组:rAnrnB若线性无关,则也线性无关;反之若线性相关,则也线性相关;(向量组的维数加加减减)ABBA简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;57.向量组(个数为)能由向量组(个数为 )线性表示,且线性无关,则;ArBsA
13、rs 向量组能由向量组线性表示,则; AB( )( )r Ar B 向量组能由向量组线性表示AB 有解;AXB ( )( ,)r Ar A B向量组能由向量组等价AB( )( )( ,)r Ar Br A B8.方阵可逆存在有限个初等矩阵,使;A12,lP PPL12lAPPPL、矩阵行等价:(左乘,可逆)与同解r ABPABP0Ax0Bx 、矩阵列等价:(右乘,可逆);c ABAQBQ、矩阵等价:(、可逆);ABPAQBPQ9.对于矩阵与:m nAl nB 、若与行等价,则与的行秩相等;ABAB 、若与行等价,则与同解,且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;AB0Ax 0Bx AB 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; 、矩阵的行秩等于列秩;A 10. 若,则:m ss nm nABC 、的列向量组能由的列向量组线性表示,为系数矩阵;CAB 、的行向量组能由的行向量组线性表示,为系数矩阵;(转置)CBTA 11. 齐次方程组的解一定是的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;0Bx 0ABx 、只有零解只有零解;0ABx 0Bx 、有非零解一定存在非零解;0Bx 0