《高考数学一轮复习总教案:2.7 幂函数与函数的图象》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习总教案:2.7 幂函数与函数的图象(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.7 幂函数与函数的图象典例精析 题型一 幂函数的图象与性质【例 1】点(,2)在幂函数 f(x)的图象上,点(2, )在幂函数 g(x)的图象上.214(1)求 f(x)、g(x)的解析式; (2)问当 x 为何值时,有:g(x)f(x);f(x)g(x);f(x)g(x). 【解析】(1)设 f(x)xa,因为点(,2)在幂函数 f(x)的图象上,将(,2)代入 f(x)xa 中,22得 2()a,解得 a2,即 f(x)x2.2设 g(x)xb,因为点(2, )在幂函数 g(x)的图象上,将(2, )代入 g(x)xb 中,得1414(2)b,解得 b2,即 g(x)x2.14(2)在
2、同一坐标系中作出 f(x)和 g(x)的图象,如图所示,由图象可知:当 x1 或 x1 时,g(x)f(x);当 x1 时,f(x)g(x); 当1x1 且 x0 时,f(x)g(x). 【点拨】(1)求幂函数解析式的步骤: 设出幂函数的一般形式 yxa(a 为常数); 根据 已知条件求出 a 的值; 写出幂函数的解析式. 本题的第(2)问采用了数形结合的思想,即在同一坐标系下画出两函数的图象,借助图象求出不等式和方程的解.这一问也可用分类讨论的思想.x2,即 x41,x1,以1x2x1,1 为分界点分 x1,1x1,x1,x1 五种情况进行讨论,也能得到同 样的结果.【变式训练 1】函数 f
3、(x)(m2m1) 322 mmx是幂函数,且当 x(0,)时是减函数,求实数 m. 【解析】因为 f(x)为幂函数, 所以 m2m11,解得 m2 或 m1. 当 m2 时,f(x)x3 在(0,)上是减函数; 当 m1 时,f(x)x0 在(0,)上不是减函数. 所以 m2. 题型二 作函数图象 【例 2】作下列函数图象: (1)y1log2x; (2)y2|x|1;(3)y|x24|. 【解析】(1)y1log2x 的图象是:(2)y2|x|1 的图象是:(3)y|x24|的图象是:【变式训练 2】在下列图象中,二次函数 yax2bx 与指数函数 y( )x 的图象只可能是( )ba【解
4、析】A. 题型三 用数形结合思想解题来源:Z+xx+k.Com来源:学科网 【例 3】已知 f(x)|x24x3|. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 m 的取值范围,使方程 f(x)mx 有 4 个不同实根. 【解析】递增区间为1,2,3,); 递减区间为(,1),(2,3). (2)设 ymx 与 yf(x)有四个公共点,过原点的直线 l 与 yf(x)有三个公共点,如图所示. 令它的斜率为 k,则 0mk.由342xxykxyx2(k4)x30. 令 (k4)2120k42.3当 k42时,方程的根 x1x2(1,3),舍去;当 k42时,方程的根333x1x2(1,3),符合题
5、意.故 0m42.来源:学科网33【点拨】(1)作出 f(x)的图象;(2)利用(1)的图象,研究函数 ymx 与 yf(x)的交点情况.【变式训练 3】若不等式 x2logax0 对 x(0, )恒成立,则实数 a 的取值范围是( )12A.0a1 B.a1116C.a1 D.0a116【解析】原不等式为 x2logax,设 f(x)x2,g(x)logax,因为0x 1,而 logaxx20,所以 0a1,作出 f(x)在 x(0, )内的1212图象,如图所示.因为 f( ) ,所以 A( , ),当 g(x)图象经过点 A 时, loga a,121412141412116因为当 x(
6、0, )时,logaxx2,g(x)图象按如图虚线位置变化,所以a1,故答案为12116B. 题型四 有关图象的对称问题【例 4】设函数 f(x)x ,x(,0)(0,)的图象为 C1,C1 关于点 A(2,1)对称的1x图象为 C2,C2 对应的函数为 g(x). (1)求函数 yg(x)的解析式,并确定其定义域;来源:学科网 (2)若直线 yb 与 C2 只有一个交点,求 b 的值,并求出交点的坐标.【解析】(1)设 P(u,v)是 yx 上任意一点,所以 vu .1x1u设 P 关于 A(2,1)对称的点为 Q(x,y),所以 2, 4yvxu .2,4 yvxu代入得 2y4xyx2.
7、14x1x4所以 g(x)x2,其定义域为(,4)(4,).1x4(2)联立方程得412,xxybyx2(b6)x4b90,所以 (b6)24(4b9)b24b0b0 或 b4.所以,当 b0 时,交点为(3,0); 当 b4 时,交点为(5,4). 【变式训练 4】函数 f(x)的定义域为 R,且满足:f(x)是偶函数,f(x1)是奇函数.若 f(0.5)9,则 f(8.5)等于( )来源:学#科#网 A.9B.9 C.3 D.0 【解析】因为 f(x)f(x),f(x1)f(x1),所以 f(2x)f(x)f(x),则 f(4x)f(x2)f(x),即 4 是函数 f(x)的一个周期,所以 f(8.5)f(0.5)9,故应选 B. 本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题,合理进行转化是解题的关键. 总结提高 掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法.函数图象为研究函数的性质, 解决方程、不等式中的问题提供了一种直观方法,用数形结合思想、分类讨论思想和转化 变换的思想分析解决数学问题.函数的图象是沟通“数”与“形”的一个重要桥梁.应用函数图象 法解数学问题往往具有直观易懂、运算量小的优点,但用图象法 求变量的取值范围时,要 特别注意端点值的取舍和特殊情况.