何钟怡--实验理论基础

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1、实验的理论基础 实验的理论基础 何钟怡 一实验的重要作用 是公理化体系的基础； 是实验建模的基础； 通过实验解决具体问题。 二指导实验的理论 实验的缺陷：由于实验的具体性，使得实验结果的狭隘性，未能达到举一返三的作用。 鲜活的实验规模大，但足尺寸实验太费时、费力、费财。 实验的可信性论证。 实验中的许多干扰因素：环境干扰和自干扰，这需要滤掉干扰，这也需 要理论指导。如：Shannon“采样定理” 。 实验的合理设计。 三现代实验的若干发展趋势 1重大影响技术：计算机技术 高分辨技术对痕量成分的感知 微电子技术传载、记录部分 非线性基础理论对湍流的把握有重大进展 2存在的事实趋势：传统的物理实验

2、正在被突破并不断补充新的内涵；物理和数值实 验；数值实验（数值仿真） ； 许多领域的实验趋向于小型化； 传统的个性实验阵地逐渐被侵蚀，逐渐向以建模与数值仿真相结 合的领域发展。 四课程内容和目的 1内容：第一章 相似理论 第二章 因次理论 第三章 误差理论 第四章 谱分析 第五章 传感器对待测场的干扰 第六章 数值实验 2目的：实用性；想象力的培养；拓宽视野、增大跨度。 第一章 相似理论 第一章 相似理论 1 概述 1 概述 一目的和内容 目标：1打破具体实验的局限性，推广到和它相似。 2构造与原则相似的模型，使模型上实验结果解决原型的实验需求。 3把模型实验的系列结果推广到类似的群体里去。

3、用 相似正定理 追踪 相似逆定理 追踪 相似类似定理 追踪 二主要线索的分析 例：发生在圆形区域内的一个现象，一个稳定电场，半径为，在圆形周边施加一定的电位，给定自变量（0R, r） ，欲确定稳定恒电场内的电位分布),(rfU =。 =+20 ,sin0110022222RrUUU rrU rrU) 3()2() 1 (rR0 0R、为特征常量，决定此问题的规模。若很大，则电位很高，很危险，所以借助于相似理论来解决，此问题没有考虑到电流密度，因为它与导电率有关系，会受到一定的局限 性。 0U0U1把定解方程组无因次化 2 00 2002 2RURrUUrU2 =令0UUU = 0Rrr = 2

4、22 00 22rU RU rU = （1）式变为： 01222 00 2 00 222 00=+U RU rU rRU rU RU即012222 =+ U rU rrU（2）式变为： 1= r时， =sinU （3）式变为： 1 r时， 20 2对于小模型 =+2001100022222,sinu时uuuu0无因次化后，将、0u0作为特征常量，上式变为： = + +201101122222,sinu时uuu其中：0= 0uuu= = 从以上的两个方程组可知有相同的解结构()=,Fu ()=,rFU 若Uu,r= 00Rr=则lCRr=00 uCuU uU=001相似理论的实质是将变量及自变量

5、进行线性变换，所以它是将定解方程组用各自的特征 常量无因次化后全同，这是相似理论正逆定理的主要内容。 2 同类现象的相似 2 同类现象的相似 标量 T 向量 （）或 表示某个点速度 iu321 ,i =)(iu指标 ij ,表示所属指标 ()iu表示属于现象整个区域的速度集合 一空间定义域的相似 定义：若现象定义于域，现象定义于域，若在中选择任一点其坐标为，在)(ix域内总有唯一一点与之对应，满足如下关系式：)(ixl iiCxx=为常数。反之，域内任一点其坐标也能在域内找到唯一点满足上式，称与空间相似。 二时间定义域的相似 定义：若现象时间定义域为，现象时间定义域为，若在域内任一点在t域内总

6、有唯一一点与之对应，两者满足下式：ttCtt=为常数。反之，域内任一点在域内总有唯一点满足上式，称与时间相似。 说明：时间是一维的，所以恒相似。 同时满足空间域与时间域的点为时空对应点，相似性是在时空对应点上展开的。 三因变量的相似 )(k iky =,21k 因变量 y原型或模型 物理量 k属于第个物理量的第几个分量 kik定义：在任一给定的对应时空点上，现象的某因变量与现象上的同名因变量满足下式：constCyykk ik ikk=)()(，则称两因变量相似。 四同类现象的相似 1同类现象：若两现象的基本方程组具有同形结构，则称两现象是同类的。但不强调是 同一种物质、同边界条件。 2同类现

7、象的相似：两现象分别定义于、时空定义域内，对于任意给定的时空对应点，若同名物理量呈固定比例kk ik iCyykk=)()(),(n21k =，若其时空定义域是相似的，则同类现象相似。 总结： 总结： （1）用定性分析来确定模型实验是否可以替代原型实验，如果可以则对模型实验进行定量 分析求解。 （2）求解后，需利用相似理论来保证将模型映射到原型中去。 （3） 第二小节是第一小节的理论总结， 它是第一个例题的逻辑总结， 是上升到普遍的规律， 这种表现手法是简单的，应该值得学习，这种符号表示是一种高级手法，不该回避。 3 定解方程组的相对化 3 定解方程组的相对化 一求和约定 Einstein 1

8、方程中的某项下标重复，则该项代表同型项求和，下标取一切可能值。 2方程中的某项下标不重复，则该方程代表一个同型方程的集合，子方程的下标取一切 可能值。 例： 指求和下标 L,)(321iui=0xuii=即0xu xu xu332211=+dtdumFi i= 即 dtdumF1 1=， dtdumF2 2=，dtdumF3 3= 二定解方程组 从大框上来观察定解方程组，它包括三个要素： 基本方程：它是支配你所研究这类现象的普遍规律，它用数学方法将物理现象“翻译” 成数学表达。 边界条件：空间自变量定义域，界定边界几何形状，研究因变量的赋值。 起始条件： 三基本方程组的相对化 选择载体：不可压

9、缩牛顿流体宏观机械运动。 本构规律：此类物质区别于其它物质的规律，由此推演出的方程称为本构方程，将其属 性个性化，下列流体的本构方程为牛顿内摩擦应力方程。 连续性方程： 0xuii=NS方程：jji2ii ji ji xxu xp1Fxuutu +=+变 量： 、 、t 、 、)(iu)(ix)(iFp 特征常量：U L T F P 相对化为： 、 、t 、)(iu)(ix)(iF、p则连续性方程无因次化后可写为：0xuii=N-S方程无因次化后可写为: +=+jji22iiji j2 i xxu LUxp LPFF xuuLU tu TU 用LU2 同除等式两端后， +=+jji2i2i2j

10、i ji xxu LUxp UPFUFLxuutu TUL 令UL UPEuFLUFrLUTSt22 =Re, +=+jji2iiji jixxu1xpEuFFr1xuutu St1 Re四边界条件的相对化 kG上， 0txpuBiik=).().(m21k, = 该边界条件由m个方程组成，是求和约定的盲区。 0TtTLxLPpPUuUBii k=),(,),( 0tTxLpPuUBiik=),(,),( 0txpuBiik=),( ,),( 五起始条件的相对化 ( ) ( )0xpuIttiih0 =.4 相似定理 4 相似定理 一相似的必要和充分条件 定理：两同类现象相似的必要和充分条件是

11、用相应特征常量相对化的定解方程组全同。 证明：1充分性。 基本方程 0xuii=+=+jji2iiji jixxu1xpEuFFr1xuutu St1 Re边界条件 0txpuBiik=),( ,),(m21k,LL= 起始条件 0xpuIiih=)( ,),(n21h,LL= 因为定解方程组是指只有唯一确定的解，对于现象的定解方程组与上述完全相同，只是将所属下标换成。若定解方程组解的如下： iu),(txfuiii= ),(txfuiii= 由于具有相同的函数解结构，当ttxxii=,时，必有iiuu=。 即：l iiiiCLL xx LxLx=同理 utCuuCtt=, 同时，若，则有：t

12、txxii=,pp= 即：tl iiCttCxx=, 有pCpp=在时空对应点上，同名物理量是常数，所以两类现象相似。 2必要性 在时空对应点上，由于两现象相似，已知： ppuuFFiiii=, 因为时空对应点相似，所以可以得出其边界条件方程全同。若在时空对应点上相似，则 说明各因变量的函数分布是相同的，则对各个自变量的导数值相等，证明思路为在空间域上 选择四个不同的点分别列出方程，来求解这四个方程中各项前系数，从而证明定解方程组全 同。 在几何边界上任意找四个点 1、2、3、4，则可列出四个方程有： 114131211b1aEuaFr1aSt1a=+ Re224232221b1aEuaFr1

13、aSt1a=+ Re334333231b1aEuaFr1aSt1a=+ Re444434241b1aEuaFr1aSt1a=+ Re对于现象同样可列出四个相类似的方程。由前面的分析我们可知： iiijijbbaa= 由两组完全相同的方程组所决定的解是相同的，即： ReRe,=EuEuFrFrStSt 相对化后的定解方程组完全等同。 二相似正定理和逆定理 1正定理： （1）若两现象相似，则对应的同名相似准则相等。 ReRe,=EuEuFrFrStSt （2）若两现象相似，则由与准则对应的相似比例尺组成的综合量等于 1。 证明：以Re为例。 两类现象相似 ReRe= LuLu= 1CCCLu=得证。 2逆定理： 使两同类现象相似，必须满足以下条件： （1）时空定义域相似； （2）相对化场力在对应点上全同； （3）由对应特征常量组成的同名相似准则相等； （4）相对化边界条件全同； （5）相对化初始条件全同。 三相对化测量的物理意义 法国科学家J.Batrand.为后人的相似论的提出奠定了基础。他提出“凡人皆等高”，即用 自己的特征尺寸去度量同一类有共同特性个体的尺寸。 5 近似相似与解耦技术 5 近似相似与解耦技术 以流体力学为例，有如下相似尺度。 CCCCCCCpFtlu,因为有四个相似准则的约束，