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1、实验的理论基础 实验的理论基础 何钟怡 一实验的重要作用 是公理化体系的基础; 是实验建模的基础; 通过实验解决具体问题。 二指导实验的理论 实验的缺陷:由于实验的具体性,使得实验结果的狭隘性,未能达到举一返三的作用。 鲜活的实验规模大,但足尺寸实验太费时、费力、费财。 实验的可信性论证。 实验中的许多干扰因素:环境干扰和自干扰,这需要滤掉干扰,这也需 要理论指导。如:Shannon“采样定理” 。 实验的合理设计。 三现代实验的若干发展趋势 1重大影响技术:计算机技术 高分辨技术对痕量成分的感知 微电子技术传载、记录部分 非线性基础理论对湍流的把握有重大进展 2存在的事实趋势:传统的物理实验
2、正在被突破并不断补充新的内涵;物理和数值实 验;数值实验(数值仿真) ; 许多领域的实验趋向于小型化; 传统的个性实验阵地逐渐被侵蚀,逐渐向以建模与数值仿真相结 合的领域发展。 四课程内容和目的 1内容:第一章 相似理论 第二章 因次理论 第三章 误差理论 第四章 谱分析 第五章 传感器对待测场的干扰 第六章 数值实验 2目的:实用性;想象力的培养;拓宽视野、增大跨度。 第一章 相似理论 第一章 相似理论 1 概述 1 概述 一目的和内容 目标:1打破具体实验的局限性,推广到和它相似。 2构造与原则相似的模型,使模型上实验结果解决原型的实验需求。 3把模型实验的系列结果推广到类似的群体里去。
3、用 相似正定理 追踪 相似逆定理 追踪 相似类似定理 追踪 二主要线索的分析 例:发生在圆形区域内的一个现象,一个稳定电场,半径为,在圆形周边施加一定的电位,给定自变量(0R, r) ,欲确定稳定恒电场内的电位分布),(rfU =。 =+20 ,sin0110022222RrUUU rrU rrU) 3()2() 1 (rR0 0R、为特征常量,决定此问题的规模。若很大,则电位很高,很危险,所以借助于相似理论来解决,此问题没有考虑到电流密度,因为它与导电率有关系,会受到一定的局限 性。 0U0U1把定解方程组无因次化 2 00 2002 2RURrUUrU2 =令0UUU = 0Rrr = 2
4、22 00 22rU RU rU = (1)式变为: 01222 00 2 00 222 00=+U RU rU rRU rU RU即012222 =+ U rU rrU(2)式变为: 1= r时, =sinU (3)式变为: 1 r时, 20 2对于小模型 =+2001100022222,sinu时uuuu0无因次化后,将、0u0作为特征常量,上式变为: = + +201101122222,sinu时uuu其中:0= 0uuu= = 从以上的两个方程组可知有相同的解结构()=,Fu ()=,rFU 若Uu,r= 00Rr=则lCRr=00 uCuU uU=001相似理论的实质是将变量及自变量
5、进行线性变换,所以它是将定解方程组用各自的特征 常量无因次化后全同,这是相似理论正逆定理的主要内容。 2 同类现象的相似 2 同类现象的相似 标量 T 向量 ()或 表示某个点速度 iu321 ,i =)(iu指标 ij ,表示所属指标 ()iu表示属于现象整个区域的速度集合 一空间定义域的相似 定义:若现象定义于域,现象定义于域,若在中选择任一点其坐标为,在)(ix域内总有唯一一点与之对应,满足如下关系式:)(ixl iiCxx=为常数。反之,域内任一点其坐标也能在域内找到唯一点满足上式,称与空间相似。 二时间定义域的相似 定义:若现象时间定义域为,现象时间定义域为,若在域内任一点在t域内总
6、有唯一一点与之对应,两者满足下式:ttCtt=为常数。反之,域内任一点在域内总有唯一点满足上式,称与时间相似。 说明:时间是一维的,所以恒相似。 同时满足空间域与时间域的点为时空对应点,相似性是在时空对应点上展开的。 三因变量的相似 )(k iky =,21k 因变量 y原型或模型 物理量 k属于第个物理量的第几个分量 kik定义:在任一给定的对应时空点上,现象的某因变量与现象上的同名因变量满足下式:constCyykk ik ikk=)()(,则称两因变量相似。 四同类现象的相似 1同类现象:若两现象的基本方程组具有同形结构,则称两现象是同类的。但不强调是 同一种物质、同边界条件。 2同类现
7、象的相似:两现象分别定义于、时空定义域内,对于任意给定的时空对应点,若同名物理量呈固定比例kk ik iCyykk=)()(),(n21k =,若其时空定义域是相似的,则同类现象相似。 总结: 总结: (1)用定性分析来确定模型实验是否可以替代原型实验,如果可以则对模型实验进行定量 分析求解。 (2)求解后,需利用相似理论来保证将模型映射到原型中去。 (3) 第二小节是第一小节的理论总结, 它是第一个例题的逻辑总结, 是上升到普遍的规律, 这种表现手法是简单的,应该值得学习,这种符号表示是一种高级手法,不该回避。 3 定解方程组的相对化 3 定解方程组的相对化 一求和约定 Einstein 1
8、方程中的某项下标重复,则该项代表同型项求和,下标取一切可能值。 2方程中的某项下标不重复,则该方程代表一个同型方程的集合,子方程的下标取一切 可能值。 例: 指求和下标 L,)(321iui=0xuii=即0xu xu xu332211=+dtdumFi i= 即 dtdumF1 1=, dtdumF2 2=,dtdumF3 3= 二定解方程组 从大框上来观察定解方程组,它包括三个要素: 基本方程:它是支配你所研究这类现象的普遍规律,它用数学方法将物理现象“翻译” 成数学表达。 边界条件:空间自变量定义域,界定边界几何形状,研究因变量的赋值。 起始条件: 三基本方程组的相对化 选择载体:不可压
9、缩牛顿流体宏观机械运动。 本构规律:此类物质区别于其它物质的规律,由此推演出的方程称为本构方程,将其属 性个性化,下列流体的本构方程为牛顿内摩擦应力方程。 连续性方程: 0xuii=NS方程:jji2ii ji ji xxu xp1Fxuutu +=+变 量: 、 、t 、 、)(iu)(ix)(iFp 特征常量:U L T F P 相对化为: 、 、t 、)(iu)(ix)(iF、p则连续性方程无因次化后可写为:0xuii=N-S方程无因次化后可写为: +=+jji22iiji j2 i xxu LUxp LPFF xuuLU tu TU 用LU2 同除等式两端后, +=+jji2i2i2j
10、i ji xxu LUxp UPFUFLxuutu TUL 令UL UPEuFLUFrLUTSt22 =Re, +=+jji2iiji jixxu1xpEuFFr1xuutu St1 Re四边界条件的相对化 kG上, 0txpuBiik=).().(m21k, = 该边界条件由m个方程组成,是求和约定的盲区。 0TtTLxLPpPUuUBii k=),(,),( 0tTxLpPuUBiik=),(,),( 0txpuBiik=),( ,),( 五起始条件的相对化 ( ) ( )0xpuIttiih0 =.4 相似定理 4 相似定理 一相似的必要和充分条件 定理:两同类现象相似的必要和充分条件是
11、用相应特征常量相对化的定解方程组全同。 证明:1充分性。 基本方程 0xuii=+=+jji2iiji jixxu1xpEuFFr1xuutu St1 Re边界条件 0txpuBiik=),( ,),(m21k,LL= 起始条件 0xpuIiih=)( ,),(n21h,LL= 因为定解方程组是指只有唯一确定的解,对于现象的定解方程组与上述完全相同,只是将所属下标换成。若定解方程组解的如下: iu),(txfuiii= ),(txfuiii= 由于具有相同的函数解结构,当ttxxii=,时,必有iiuu=。 即:l iiiiCLL xx LxLx=同理 utCuuCtt=, 同时,若,则有:t
12、txxii=,pp= 即:tl iiCttCxx=, 有pCpp=在时空对应点上,同名物理量是常数,所以两类现象相似。 2必要性 在时空对应点上,由于两现象相似,已知: ppuuFFiiii=, 因为时空对应点相似,所以可以得出其边界条件方程全同。若在时空对应点上相似,则 说明各因变量的函数分布是相同的,则对各个自变量的导数值相等,证明思路为在空间域上 选择四个不同的点分别列出方程,来求解这四个方程中各项前系数,从而证明定解方程组全 同。 在几何边界上任意找四个点 1、2、3、4,则可列出四个方程有: 114131211b1aEuaFr1aSt1a=+ Re224232221b1aEuaFr1
13、aSt1a=+ Re334333231b1aEuaFr1aSt1a=+ Re444434241b1aEuaFr1aSt1a=+ Re对于现象同样可列出四个相类似的方程。由前面的分析我们可知: iiijijbbaa= 由两组完全相同的方程组所决定的解是相同的,即: ReRe,=EuEuFrFrStSt 相对化后的定解方程组完全等同。 二相似正定理和逆定理 1正定理: (1)若两现象相似,则对应的同名相似准则相等。 ReRe,=EuEuFrFrStSt (2)若两现象相似,则由与准则对应的相似比例尺组成的综合量等于 1。 证明:以Re为例。 两类现象相似 ReRe= LuLu= 1CCCLu=得证。 2逆定理: 使两同类现象相似,必须满足以下条件: (1)时空定义域相似; (2)相对化场力在对应点上全同; (3)由对应特征常量组成的同名相似准则相等; (4)相对化边界条件全同; (5)相对化初始条件全同。 三相对化测量的物理意义 法国科学家J.Batrand.为后人的相似论的提出奠定了基础。他提出“凡人皆等高”,即用 自己的特征尺寸去度量同一类有共同特性个体的尺寸。 5 近似相似与解耦技术 5 近似相似与解耦技术 以流体力学为例,有如下相似尺度。 CCCCCCCpFtlu,因为有四个相似准则的约束,