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1、函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函（指数函数、对数函数、幂函数）数）【专题要点专题要点】1.理解函数的概念，了解映射的概念.2. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方 法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.【考纲要求】1通过丰富实例，进一步体
2、会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此 基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了 解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念； 3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； 4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； 结合具体函数，了解奇偶性的含义； 1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意 义； 2结合具体函数，了解奇偶性的含义；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所
3、刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念， 体会对数函数是一类重要的函数模型；【知识纵横知识纵横】函数的三要素函数的表示法函数的性质反函数函数的应用初等函数基本初等函数： 幂函数 ； 二次函数 指数函数； 对数函数对数函 数指数函 数映射函数【教法指引教法指引】 本节内容在高考中占有一定比重，而且二分法是新增内容，应引起重视，同时对反函 数的考查要求降低，本节多数题目将会以小题目出现，重点仍将是考查函数的性质，二分 法，函数的定义域，以及函数的综合应用等知识点.基本函数：一次函数、二次函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）
4、是高考命题的切入点，有单一考查，也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.复习函数时要注意：1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互
5、转化. 2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等. 3.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题. 4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏.5.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.【典例精析典例精析】 1.函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义 的深入理解上下功夫复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇
6、偶性的定义入手， 在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应 用问题的过程中得以深化具体要求是： 1正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间 的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性 2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用， 归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法 3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方 法解决问题的能力 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关
7、键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习 函数图像要注意以下方面. 1掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法 2会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题 3用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题 4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力 例 1、 （2008 广东汕头二模）设集合 A=x|x1，B=x|log2x0，则 AB=( ) Ax| x1 Bx|x0Cx|x1 【解析】:由集合 B 得 x1 , AB=x| x1，故选（A） 。 点评本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属
8、基 础题。 例 2、 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了 一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达 了终点用 S1、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合 的是 （ ）【解析】：选（B） ，在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。 点评函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问 题、分析问题的能力，在复习时应引起重视.例 3、设 1 1xf xx，又记 11,1,2,kkfxf xfxffxkL则 2008fx （ ）A1 1x x ； B
9、1 1x x ； Cx； D1 x ；A B C D【解析】:本题考查周期函数的运算。 1 12 1111,11fxfxfxxfx ， 32 34 23111, 111ffxfxfxxfxf，据此， 414211,1nnxfxfxxx ， 4341, 1nnxfxfxxx，因2008为4n型，故选C.点评本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过 观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。例 4、函数3( )sin1()f xxxxR，若( )2f a ,则()fa的值为 （ ）A.3 B.0 C.-1 D.-2【解析】：3( ) 1sinf xxx 为奇函数，
10、又( )2f a ( ) 11f a 故() 11fa 即()0fa.点评本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过 变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。例 5、 （2008 广东高考试题）设kR，函数111( )11xxf xxx ，( )( )F xf xkx，xR，试讨论函数( )F x的单调性【解析】1,1,1( )( )1,1,kxxxF xf xkxxkxx 21,1,(1)( )1,1,21kxxF x kxx 对于1( )(1)1F xkx xx，当0k 时，函数( )F x在(,1)上是增函数；当0k 时，函数( )F x在1(,1)k 上
11、是减函数，在1(1,1)k 上是增函数；对于1( )(1)21F xk xx ，当0k 时，函数( )F x在1,上是减函数；当0k 时，函数( )F x在211,14k上是减函数，在211,4k上是增函数。点评在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了 导数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单 调进性，显得更加简单、方便. 2.二次函数 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的 初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、 方程、不等式之间的有机联系；
12、作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有 关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识 基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以 进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像 特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.例例 6、设二次函数 f xaxbxc a20，方程 f xx
13、0的两个根x x12,满足0112xxa. 当xx 01,时，证明 xf xx1.【解析】：在已知方程 f xx 0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数 xxf的表达式，从而得到函数)(xf的表达式. 证明：由题意可知)()(21xxxxaxxf.axxx1021Q， 0)(21xxxxa， 当xx 01,时，xxf)(.又) 1)()()(211211axaxxxxxxxxxaxxf，, 011, 0221axaxaxxx且 1)(xxf，综上可知，所给问题获证. 点评：点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式 .21xxxxay例 7、设二次函数2( )f
14、xxaxa，方程( )0f xx的两根1x和2x满足1201xx（I）求实数a的取值范围；（II）试比较(0) (1)(0)fff与1 16的大小并说明理由【解析】法 1：（）令2( )( )(1)g xf xxxaxa，则由题意可得01012 (1)0(0)0agg 或或或或01132 232 2aaaa 或或或或或032 2a故所求实数a的取值范围是(0 32 2)，（II）2(0)(1)(0)(0) (1)2fffggag，令2( )2h aaQ当0a 时，( )h a单调增加，当032 2a时，20( )(32 2)2(32 2)2(17 12 2)h ah1121617 12 2g ，即1(0)(1)(0)16fffg 法 2：（I）同解法 1（II）Q2(0) (1)(0)(0) (1)2fffgga，由（I）知032 2a，41 12 2170a 2又4 210a 或于是221112(321)(4 21)(4 21)0161616aaaa ，即212016a ，故1(0) (1)(0)16fff 法 3：（I）方程( )0f xx2(1)0xaxa，由韦达定理得121xxa ，1
