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1、1数学必修一复习提纲数学必修一复习提纲 第一章第一章 集合及其运算集合及其运算一集合的概念、分类：正整数集正整数集 N*或或 N+ 整数集整数集 Z 有理数集有理数集 Q 实数集实数集 R 二集合的特征： 确定性 无序性 互异性 三表示方法： 列举法 描述法 图示法 区间法 四两种关系： 从属关系：对象 、 集合；包含关系：集合 、集合 五三种运算：交并补 IU |,ABx xAxBI且 |,ABx xAxBU或UC A x xUxA且六运算性质： A UA，A I 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集 BAABAI；ABABAU（4） 集合的所有子集的个数为2n，所有真子集的个数为2
2、1n，所有非空真子集的个数为22n， 第二章第二章 函数函数 函数相等（相同）：函数相等（相同）：定义域相同；对应关系可化为相同。 指数与对数运算指数与对数运算 分数指数幂与根式：分数指数幂与根式：如果nxa，则称x是a的n次方根，0的n次方根为 0，若0a ，则当n为奇数时，a的n次方根有 1 个，记做na；当n为偶数时，负数没有n次方根，正数a的n次方根有 2 个，其中正的n次方根记做na负的n次方根记做na1负数没有偶次方根；2两个关系式：()nnaa；|nnanaan 为奇数 为偶数3、正数的正分数指数幂的意义：m nmnaa；正数的负分数指数幂的意义：1m n nma a4、分数指数
3、幂的运算性质： mnm naaa； mnm naaa； ()mnmnaa； ()mmma bab； 01a ，其中m、n均为有理数，a，b均为正整数二对数及其运算二对数及其运算21定义：若baN(0a ，且1a ，0)N ，则logabN2两个对数： 常用对数：10a ，10loglgbNN； 自然对数：2.71828ae，loglnebNN3三条性质： 1 的对数是 0，即log 10a； 底数的对数是 1，即log1aa ； 负数和零没有对数4四条运算法则： log ()loglogaaaMNMN； logloglogaaaMMNN ； loglogn aaMnM； 1loglogn aa
4、MMn 5其他运算性质： 对数恒等式：对数恒等式：logabab； 换底公式：logloglogc a cabb ； logloglogababcc；loglog1abba； loglogmn aanbbm 函数的概念函数的概念一映射：设 A、B 两个集合集合，如果按照某中对应法则f，对于集合 A 中的任意一个元素，在集合 B 中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合 A 到集合 B 的映射 二函数：在某种变化过程中的两个变量x、y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记做( )yf x，其中x称为自变量，x变化的范围
5、叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域三函数( )yf x是由非空数集数集A到非空数集 B 的映射函数是一种特殊的映射。四函数的三要素：解析式；定义域；值域 函数的解析式函数的解析式 一根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知xxxf2) 1(，求函数)(xf的解析式二已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知( )f x是一次函数，且 ( )43f f xx，函数)(xf的解析式函数的定义域函数的定义域 一根据给出函数的解析式求定义域： 整式：xR 分式：分母不等于 0 偶次根式：被开方数大于或等于 0 含 0 次幂、负指数幂：底数不等于
6、 0 对数：底数大于 0，且不等于 1，真数大于 0 二根据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知( )yf x定义域为5 , 2，求(32)yfx定义域；3已知(32)yfx定义域为5 , 2，求( )yf x定义域；三实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域 函数的值域函数的值域 一基本函数的值域问题： 二求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往 取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法观察法、配方法配方法、单调性法、单调性法、换元法（代数换元与三角换元） 、 反函数反函数一反函数：设函数( )yf x()xA的值域是C，根据
7、这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到( )xy若对于C中的每一y值，通过( )xy，都有唯一的一个x与之对应，那么，( )xy就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数( )xy()yC叫做函数( )yf x()xA的反函数，记作1( )xfy,习惯上改写成1( )yfx二函数( )f x存在反函数的条件存在反函数的条件是：x、y一一对应三求函数( )f x的反函数的方法： 求原函数的值域，即反函数的定义域 反解，用y表示x，得1( )xfy 交换x、y，得1( )yfx 结论，表明定义域四函数( )yf x与其反函数1( )yfx的关系： 函数( )yf x与1( )yfx的定
8、义域与值域互换 若( )yf x图像上存在点( , )a b，则1( )yfx的图像上必有点( , )b a，即若( )f ab，则1( )fba 函数( )yf x与1( )yfx的图像关于直线关于直线yx对称对称函数的奇偶性：函数的奇偶性：一判断函数( )f x奇偶性的步骤：1判断函数( )f x的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；2验证( )f x与()fx的关系，若满足()( )fxf x ，则为奇函数，若满足()( )fxf x，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数 二奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称三若奇函数( )f x的定义域包
9、含0，则(0)0f四一次函数ykxb(0)k 是奇函数奇函数的充要条件是0b ；二次函数2yaxbxc(0)a 是偶函数偶函数的充要条件是0b 4函数的周期性：函数的周期性：一定义：对于函数)(xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()( )f xTf x，则)(xf为周期函数，T为这个函数的一个周期函数的单调性函数的单调性一定义：一般的，对于给定区间上的函数( )f x，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值1x，2x，当12xx时满足： 12()()f xf x，则称函数( )f x是增函数； 12()()f xf x，则称函数( )f x是减函数 二判断函数
10、单调性的常用方法： 1函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：任取 x1，x2D，且 x10)0(02cbxax二次函数情况一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a0)=b2-4acax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)021xxxxx或21xxxx=00xxx图 象 与 解0 , a1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=ax (a0 且 a1)y=logax (a0 , a1) 定义域(-,+ )(0,+ ) 值域(0,+ )(-,+ ) 过定点（0，1）（1，0）指数函数 y=ax与对数函数 y=logax (a0 , a1)图象关于 y=x 对称图象单调性a1
11、,在(-,+ )上为增函数 01,在(0,+ )上为增函数 0a1, 在(0,+ )上为减函数2、比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相 同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象，研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限 制。 幂函数幂函数1、幂函数定义：一般地，形如xy )(Ra的函数称为幂函数，其中为常数 2、幂函数性质归纳 （1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1） ； （2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在
12、区间), 0 上是增函数特别地，当 1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸； （3）0时，幂函数的图象在区间), 0( 上是减函数在第一象限内，当x从右边 趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴 上方无限地逼近x轴正半轴 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数 )(xfy 的图象与x轴交点的横坐标。即：方程方程0)(xf有实数根有实数根函数函数)(xfy 的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数 )(xfy 有零点有零点 3、函数零点的求法：（代数法）求方程0)(xf的实数根；1（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图象联系起2来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy（1），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交 点，二次函数有两个零点（2），方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交7点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函 数无零点
