示范教案(函数的表示法)

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1、1.2.2 函数的表示法（2）从容说课从容说课 函数的图象是函数的又一种表示形式，它直观明了，是后继学习研究函数性质的基础， 在日常生活中，它的直观性比比皆是，例如：股市的走势图、我国工农业产值的变化图.本 课函数的作图是通过有限的点来刻画函数的整体图象，先是描出这些点，然后用圆滑的曲 线连接，从某种意义上讲不够严谨，教学时不必细说，重点是研究如何作图.映射作为函数 概念的推广，其教学要求不能太高，教学中主要是结合实际使学生对映射有所了解，可以 为今后进一步学习各类映射作好准备. 三维目标三维目标 一、知识与技能 1.了解实际背景的图象与数学情境下的图象是相通的. 2.了解图象可以是散点. 3

2、.图象是数形结合的基础. 4.了解映射的概念及表示方法. 二、过程与方法 1.自主学习，了解作图的基本要求. 2.探究与活动，明白作图是由点到线，由局部到全体的运动变化过程. 3.会判断一个对应是不是映射. 4.重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提 出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；通过教师指导发现知识结论， 培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力. 三、情感态度与价值观 1.培养辩证地看待事物的观念和数形结合的思想. 2.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式. 3.激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生

3、坚忍不拔的意志， 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神. 教学重点教学重点 函数的作图. 教学难点教学难点 如何选点作图，映射的概念. 教具准备教具准备 多媒体课件、投影仪、打印好的材料. 教学过程教学过程 一、创设情景，引入新课 师：日常生活中我们见过许多曲线图象.让我们一起来看一看（多媒体投影）： （图象 1）股市走势图. （图象 2）产生的震动波曲线. （图象 3）医用心电图的波线. 师：初中我们已研究过直线、反比例及二次函数的图象，请大家作出y=2x1，y，yx2的图象.（学生在下面自己作图，老师巡视）x1我们可以发现这些线的图象都有一个共同的特点，就是由满足一定条件的点构成的，具体

4、地说就是 x 作为横坐标，y 作为纵坐标描成的点，所有的点即构成该曲线的图象. 二、讲解新课 1.函数的图象 一般而言，如何作出 yf（x）的图象呢？我们将自变量的一个值 x0作为横坐标就得 到坐标平面上的一个点（x0，f（x0） ） ，自变量取遍函数定义域 A 的每个值时，就得到一系 列这样的点，所有这些点组成的集合（点集）为（x，y）|y=f（x） ，xA ，这些点组成 的曲线就是函数 yf（x）的图象. 可从以下几个方面加深对函数图象的理解： 画函数的图象，不仅要依据函数的解析式，而且还必须考虑它的定义域.两个用不同的 解析式表示的函数，只有在对应关系相同、定义域相同的条件下，才能是相同

5、的函数，才 能有相同的图象. 由函数的图象的定义知道，点的集合（x，y）|y=f（x） ，xA是函数的图象，因此 从理论上讲，用列表描点法总能作出函数的图象，但是不了解函数本身的特点，就无法了 解函数图象的特点，如二次函数的图象是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着 对称轴，盲目地列表描点是很难将图象的特征描绘出来的. 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，以后可以看到，通过函数 的图象能够掌握函数重要的性质.反之，掌握好函数的性质，将有助于正确地画出函数的图 象. 我们知道函数的图象是由点集构成的，如何作图即如何选点呢？我们看一看下面的一些 例题. 【例 1】 试画出下列

6、函数的图象： （1）f（x）=x+1（x1，2，3，4，5） ； （2）f（x）=（x1）2+1，x1，3）. 解：（1）我们先列表再描点x12345y23456Oyx1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6-1 -1-2-2-3-3-4-4-5（1）Oyx1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6-1 -1-2-2-3-3-4-4-5（2） 师：如图（1）就是所要作出图象，它是由一些散点构成的.换句话说就是函数的图象 可以是一些散点.如何得到 f（x）=x+1 的图象？ 生：仅需把图（1）的散点连结起来构成一条直线就是 f（x）=x+1 的图象，如图（2）. 师：对，在初中我们就研究过一次

7、函数的图象，它表示一条直线，所以今后我们作一 次函数的图象仅需作出其两点，然后再连成一条直线即可. （2）师：这是一个什么曲线？ 生：抛物线. 师：是一条完整的抛物线吗？ 生：好像不是. 师：为什么？ 生：因为 x1，3） ，所以 x 的取值受限制. 师：对，这个函数的图象与抛物线 f（x）=（x1）2+1 有联系，它是其中一段，为了 能够作出其图象，我们先作出抛物线 f（x）=（x1）2+1 的图象，大家自己动手作出该函 数的图象，用虚线表示.（一会儿后）请生甲回答如何作出其图象的.（同时投影其所得的图 象） 生甲：先作出顶点（1，1） ，再作出两点（2，2） 、 （3，5） ，然后根据抛物

8、线的对称轴 是 x1，作出（2，2） 、 （3，5）关于 x1 的对称点，然后顺次用圆滑的曲线连结这五个 点.从而得到抛物线 f（x）=（x1）2+1 的图象.如图（3） Oyx1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 -1 -1-2-2-3-3-4-4-5（3） 师：生甲同学通过选关键点顶点，再结合二次函数的对称性取另外两点作出其关于对 称轴的对称点，这样得到 5 点，最后用圆滑的曲线由左向右顺次连结这些点.这个方法是通 常作二次函数的方法. 这种方法提醒我们对一些熟知的函数要作出其图象仅需要选一些特征点及辅助点，然 后就可以得出其图象. 这样要作出 f（x）=（x1）2+1，x1，3） ，仅

9、需要在 f（x）=（x1）2+1 的虚线图象上取 x1，3）的一段用实线描出，但端点（3，5）处用空心点表示.如图（4） Oyx1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 -1 -1-2-2-3-3-4-4-5（4） 【例 2】 作出函数 y=|x2|（x1）的图象. 分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外， 我们还应想到对已知解析式进行等价变形解：（1）当 x2，即 x20 时，y=（x2） （x+1）=x2x2=（x）2.21 49当 x2，即 x20 时，y=（x2） （x+1）=x2+x+2=（x）2+，所以 y=21 49 . 2,49)21(, 2,4

10、9)21(22xxxx这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出.如图（5） （5） 方法引导：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是 否等价，要特别注意 x、y 的变化范围因此必须熟记基本函数的图象例如：一次函数、 反比例函数、二次函数等基本函数的图象 2.映射 函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”.当我们将数集扩展到任意的集合时，就 可以得到映射的概念.例如，亚洲的国家构成集合 A，亚洲各国的首都构成集合 B，对应关 系 f：国家 a 对应于它的首都 b.这样，对于集合 A 中的任意一个国家，按照对应关系 f，在 集合 B 中都有唯一确定的首都与之对应.

11、我们将对应 f：AB 称为映射. 设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意 一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集 合 A 到集合 B 的一个映射. 在我们的生活中，有很多映射的例子，例如，设集合 A=x|x 某场电影票上的号码， 集合 B=x|x 是某电影院的座位号，对应关系 f：电影票的号码对应于电影院的座位号，那 么对应 f：AB 是一个映射.【例 3】 教科书 P26例 7. 本例中的（1） （2）是以后经常用到的映射，教学时应引导学生认真理解.对于（3） ， 还可以把“内切圆”换成“外

12、接圆”让学生思考.对于（4） ，可以与本例后的“思考”进行 比较，让学生进一步体会映射是讲顺序的，即 f：AB 与 f：BA 是不同的，并且，它们 中可以一个是映射而另一个不是映射，也可以两个都是映射或两个都不是映射. 在此基础上归纳出映射概念值得注意的几点： （1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合； （2）对于映射 f：AB，我们通常把集合 A 中的元素叫原象，而把集合 B 中与 A 中 的元素相对应的元素叫象.所以，集合 A 叫原象集，集合 B 叫象所在的集合（集合 B 中可 以有些元素不是象）. （3）映射只要求“对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B

13、中都有唯一确定的元素 y 与之对应” ，即对于 A 中的每一个原象在 B 中都有象，至于 B 中的元素在 A 中是否有原 象，以及有原象时原象是否唯一等问题是不需要考虑的. （4）用映射刻画函数的定义可以这样叙述：设 A、B 都是非空的数集，那么 A 到 B 的映射 f：AB 就叫做 A 到 B 的函数，记作 y=f（x）.其中 xA，yB.原象集合 A 叫 做函数 y=f（x）的定义域，象集合 C 叫做函数 y=f（x）的值域.很明显，CB. 【例 4】 已知集合 A=1，2，3，k ，B=4，7，a4，a2+3a ，且aN，kN，xA，yB，映射 f：AB，使 B 中元素 y=3x+1 和

14、 A 中元素 x 对应.求 a 及 k 的值. 方法引导：集合 A 中元素 1，2，3 在对应法则的作用下，分别得到象 4，7，10，关键 是集合 B 中谁和 10 对应. 解：B 中元素 y=3x+1 和 A 中元素 x 对应，A 中元素 1 的象是 4，2 的象是 7，3 的象是 10. 对于集合 B 而言能与 10 对应的元素有两种情况：a4=10 或 a2+3a=10.aN，a2+3a10=0 得 a=5（舍去）或 a=2. 当 a=2 时，a4=16. 由 3k+1=16 得 k=5.a=2，k=5 为所求. 方法技巧：本题是集合与映射问题的综合，在分析对应关系时，应从已知出发，寻找

15、 未知量的关系.如果本题 A 集合中只有两个已知的元素，此时应该考虑四种对应关系.然后 用已知条件和集合的性质加以排除.本题将集合与映射两个概念同时考查，有一定的新意. 三、课堂练习 1.根据所给定义域，画出函数 y=x22x+2 的图象. （1）xR； （2）x（1，2 ； （3）x（1，2）且 xZ. 答案： （1） （2） （3）2.判断下列对应关系哪些是从集合 A 到集合 B 的映射，哪些不是，为什么?（1）A=B=N*，对应关系 f：xy=|x3|.（2）A=R，B=0，1 ，对应关系 f：xy= , 0, 1. 0, 0 xx（3）A=B=R，对应关系 f：xy=.x（4）A=Z，

16、B=Q，对应关系 f：xy=.x1（5）A=0，1，2，9，B=0，1，4，9，64，对应关系 f：ab=（a1）2. 答案：（1）对于 A 中的 3，在 f 作用下得 0，但 0B，即 3 在 B 中没有象，所以不 是映射. （2）对于 A 中任意一个非负数都有唯一象 1，对于 A 中任意一个负数都有唯一象 0， 所以是映射. （3）集合 A 中的负数在 B 中没有元素与之对应，故不是映射. （4）集合 A 中的 0 在 B 中没有元素和它对应，故不是映射. （5）在 f 的作用下，A 中的 0，1，2，9 分别对应到 B 中的 1，0，1，64，所以是映射. 四、课堂小结 1.本节学习的数学知识： 函数的图象、函数图象的作法、作函数图象的要素、映射的概念. 2