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1、1高等光学第高等光学第 1-3 章习题答案章习题答案第一章光的基本电磁理论第一章光的基本电磁理论1.1 在非均匀介质中，介电系数是空间位置的函数，波动方程有下面的形式)(r0)()()(222 rrEErEt解释为什么当电场的三个分量中有多于两个不为 0 时，电场分量之间就会出现耦合。解答: zyx)()()()(rkrjrir因而 zEE yEExEzyx )( )()( )()( )()()(r rr rr rrrE 由上式看到式的分量中含有和，分量中含有和，分 )()( rrExyEzEyxEzEz量中含有和，结合题中所给出的波动方程看到电场的三个分量中有多与两个不为 0xEyE时分量之
2、间出现了交叉耦合。1.2（1）在（1-57）式中若，验证平面波是波动方程zsr12()()zvtzvtUUU（1-51）的解。（2）验证（1-62）式所示的球面波是波动方程（1-60）12()()rvtrvt rrUUU的解。 解答：（1）波动方程为 (1-51)012222 tvUU即 01222222222 tvzyxUUUU)()(21vtzvtzUUU令 ， vtz vtz 则有 212121UUUUUUU zzzzz2(A1-1)22221222221222 UUUUU zzz(A1-2)222 2 212 2 22 UUUvv t将(A1-1)、(A1-2)式代入波动方程的左边，显
3、见012222 tvUU（2）波动方程为(1-60)0)(1)(22222 trvrrUU即 0112222 2 tvrrrrUU设 ， rvtr)(1 1Ufrvtr)(2 2Uf令 ， vtr vtr 则有 rrrrrr rr rr 2 21 121)()()(ffffffU2211 21UUUUffrr222 2 22 212 1 2121 2211)( UUUUUUffU rrrrrrrr222 222 212 1 212 221 211111 UUUUUUUUUU rrrrrrrr222212 UU用同样方法可以求出 之值。)(1222fr tv这里注意 ， vtvt121212vv
4、ttttt UUUUUUU3代入后即可证得0)(1)(22222 trvrrUU1.3 证明群速度与材料色散有下面的关系式gvddn ddnncvg解答： 根据（1-129）式kvkvkvkvp ppgdd)(ddckd1dck 因此 dd dd1dd1dd dd dd22nncn nncnnncncncknc kn nvkvvp pg1.4 在光学中场量和的表示方法有许多种，分别推导采用以下三种表示方法),(trE),(trH时平均光强的计算公式。(1) 设场量表示为，tjet)(),(0rErEtjet)(),(0rHrH(2) 设场量表示为，.)(21),(0ccettjrErE.)(2
5、1),(0ccettjrHrH(3) 设场量表示为，.)(),(0ccettjrErE.)(),(0ccettjrHrH解答：（1） tjtjtjtjeeeett* 00* 0021 21),(Re),(ReHHEErHrE002 00ReRe21HEHEtje取时间平均值得到 * 00*Re21Re21HEHESEHQ|20 00EnSI（2）和均以实数表示),(trE),(trH4 tjtjtjtjeeeett)(21)(21)(21)(21),(),(* 00* 00rHrHrErErHrES展开后取时间平均得或 * 00Re21HES2 0 00|2EnSI（3）和均以实数表示),(t
6、rE),(trH tjtjtjtjeeeett)()()()(),(),(* 00* 00rHrHrErErHrES展开后取时间平均得或 * 00Re2HES2 0 00|2EnSI1.5（1）一右旋圆偏振光在通过 1/2 波片以后变成一个左旋圆偏振光，求此 1/2 波片的琼斯 矩阵表示。（2）快轴沿 x 方向的 1/4 波片，其琼斯矩阵为，一线偏振光的偏振方向与轴的j001x交角为 45 ，求此线偏振光经过上述 1/4 波片后的偏振态。若入射至上述 1/4 波片的光是o一左旋圆偏振光，结果又如何？（3）用快轴沿 y 轴的 1/4 波片和透光轴与 x 轴成-45 角的偏振器组合在一起, 就构成
7、了o一个只让入射的右旋圆偏振光通过的装置，试证明这一结论。 解答：（1）由讲义第一章中表 1-2，入射的右旋圆偏振光电矢量的列矩阵为 ji121E出射的左旋圆偏振光的电矢量的列矩阵为 jt121E设所求的波片的琼斯矩阵为21， 22211211 JJJJJitJEE 因此有 jJJJJj12112122211211右边展开后得到 12111jJJ2221jJJj5比较后得 ， ， ， 111J012J021J122J 1001J对照第一章表 1-3，它是一个快轴沿轴或轴的波片。xy1 2（2） 出射光为一左旋圆偏振光o1 jjEEtytx121 11 00121出射光为一线偏振光，其偏振方向o
8、2101111 0122txtyE Ejj 与轴夹角为。xo45（3）本题本质上与上题相同，只是换一种叙述方式。设有一右旋圆偏振光入射至快轴沿轴的波片上，则有y41 11211 00121 jj这正是一个偏振方向与轴成角的线偏振光，它能够通过透光轴与轴成角的xo45xo45偏振器。1.6 求（1-201）式中所表示的表象之间的变换矩阵。F解答：设偏振光表示为pxE XE% yE Y%1001xyEE %也可以表示为 jE jERELERL RLp1212 E 10220122 RLRLEjEjEE比较以上两式得到 RLyRL xEjEjEEEE22226因此 RLyx EE jjEE 1121
9、 jj1121F1.7 设一个偏振态与下列偏振态正交 sincos),(jeJ(1) 求该偏振态的琼斯矩阵表示。(2) 证明两个相互正交椭圆偏振态的椭圆主轴是相互垂直的，电矢量末端的旋转方向是 相反的。 解答：（1）设所求偏振态的琼斯矩阵表示为，由得J0* JJ cossinjeJ或 ， ， cossin jeJ cossin jeJ cossinjeJ（2）将坐标轴沿逆时针方向旋转，则有2 01102R cossin sincos 01102jje eRJ将上式结果与比较，它们在各自的坐标系中描述偏振态变化的椭圆 cossinjeJ形状一样，由指数上符号判断它们的旋向相反。由于这两个坐标系的
10、轴成角，因而o90它们椭圆的主轴是相互垂直的。1.8 有两个单色平面波它们的电矢量分别表示为 )(Rekztj aeAE )(Rekztj beBE设这两个波的偏振态是正交的，的两个直角坐标分量之间的相位差为，的两AaB个直角坐标分量之间的相位差为b7(1) 试证明；ba(2) 设和均，证明；ab,0ba(3) 令和分别为和的琼斯矩阵表示中分量和分量之比，证明。abAByx1*ba解答：（1）设 yjx AeAaA yjx BeBbB由得到 （P1.8-1）0* BA0)(baj yyxxeBABA因为、均为实数，所以xAyAxByB（P1.8-2）ba（2）正交的椭圆偏振态旋向相反，这就是说和的表达式中和反号，所以ABab0ba（3） ajxy aeAAbjxy beBB（P1.8-3）)(*bajxxyy baeBABA由（P1.8-1）和（P1.8-2）式得到（P1.8-4）yyxxBABA将（P1.8-2）和（P1.8-4）式代入（P1.8-3）式中得到证毕1*ba1.9 在图 1-11 所示的椭圆主轴坐标系中，一般偏振光两个分量的复数表示为)(0 jaeE)2/(0 mjbeE式中，设kzt abmtg(1) 证明在坐标系中，表示光波偏振态的归一化琼斯矩阵为o sincos jE8(2) 在为基矢的空间中，求上述偏振光的表示，并由此验证在为基矢的空),
