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1、第 1 页 共 7 页南通市南通市 2011 届高三第二次调研测试届高三第二次调研测试 参考答案及评分建议参考答案及评分建议 一、填空题：1. xy2=0 2. 3. 真 4. 5. 2 6. 7. 8 2526 272 0，12 8. 105 9. （或） 10. 1 11. 2112. 13. 14. 312，1 502 ，二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.【证明】由题意可知，为等腰直角三角形，为等边三角形2 分PACABC（1）因为为边的中点，所以，OACBOAC因为平面平面，平面平面，平面，PAC ABCPAC IABCACB
2、O ABC所以面 5 分BO PAC因为平面，所以，PAPACBOPA在等腰三角形内，为所在边的中点，所以，PACOEOEPA又，所以平面；8 分BOOEOIPA EBO（2）连AF交BE于Q，连QO因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，所以，且Q是PAB的重心，10 分2AO OG于是，所以FG/QO. 12 分2AQAO QFOG因为平面EBO，平面EBO，所以平面 14 分FG QO FGEBO【注】第（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH/平面EBO证得.1616 【解】 （1）=3 分 2( )2 3cos2sincos222xxxf x 3(1cos )sinxx2
3、cos36x 由，得， 5 分2cos3316x 1cos62x 于是，因为，所以 7 分2 ()63xkkZ 22x 或 26x 或（2）因为，由（1）知 9 分(0)C或 6C 因为ABC的面积为，所以，于是. 3 231sin226ab2 3ab 在ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.由余弦定理得，所以 222212cos66ababab227ab由可得或 于是 12 分23ab，3 2.a b，23abPABCOEF GQ第 2 页 共 7 页OA1A2B1B2xy(第 17题)TQPNMSRMNPQBCAD甲乙由正弦定理得，sinsinsin1 12ABC ab所以 14 分3
4、1sinsin122ABab 1717 （本小题满分 14 分）【解】 （1）设椭圆E的焦距为 2c（c0） ，因为直线的倾斜角的正弦值为，所以，11AB1 3221 3b ab 于是，即，228ab2228()aac所以椭圆E的离心率 4 分22147.84cea（2）由可设，则，14 4e 40ak k14ck2bk于是的方程为：，11AB2 240xyk故的中点到的距离， 6 分2OA20k, 11ABd 2423kkk又以为直径的圆的半径，即有，所以直线与圆相切. 8 分2OA2rkdr11ABC（3）由圆的面积为知圆半径为 1，从而， 10 分C1 2k 设的中点关于直线：的对称点为
5、，2OA1 0, 11AB2 220xym n, 则解得 12 分21,14 12 22022n m mn 4 21 33mn, 所以，圆的方程为 14 分C224 21133xy1818 （本小题满分 16 分）【解】 （1）如右图，过S作SHRT于H，SRST= 2 分RTSH 21由题意，RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离；4 分RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT4，SH2，当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图） ，上面两个不等式中等号同时成立 此时，场地面积的最大值为SRST=4（km2） 6 分1422 第 3 页 共 7 页（2）同(1)的分析，要使得场地
6、面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设BPA=，则有1122sin222sin(2 )4(sinsincos ) 0222ABCDS 四边形8 分令，则cossinsiny 11 分)sin(sincoscoscos y1coscos22若，0 y1cos23或又时，时， 14 分 03或0 y 32或0 y函数在处取到极大值也是最大值，cossinsiny 3故时，场地面积取得最大值为（km2） 16 分 33 31919 （本小题满分 16 分）【解】 （1）由=+(1)得到=，ONuuu rOAuuu rOBuuu rBNuuu rBAuu u r所
7、以B，N，A三点共线， 2 分又由x= x1+(1) x2与向量=+(1)，得N与M的横坐标相同 4ONuuu rOAuuu rOBuuu r分对于 0，1上的函数y=x2，A(0，0)，B(1，1)，则有，故；2 211 24MNxxx uuu u r104MN，uuu u r所以k的取值范围是 6 分1 4 ，（2）对于上的函数，A()，B()， 8 分1eemm或lnyxemm或1e1mm或则直线AB的方程， 10 分11(e )eem mmymx令，其中，11( )ln(e )eem mmh xxmx1eemmxmR，于是， 13 分111( )eemmh xx列表如下：xem(em，
8、em+1em)em+1em(em+1em，em+1)em+1( )h x+0( )h x0增1(ee )mmh减0则，且在处取得最大值，MN uuu u r h x1eemmx又0.123，从而命题成立 16 分1e2(ee )ln e1e1mmh1 8第 4 页 共 7 页2020(本小题满分 16 分)【解】 （1）当时，；1n 11a 当时，*2nnN，2 121(1)naaanL所以；22(1)21nannn综上所述， 3 分*21 ()nannN（2）当时，若存在p，r使成等差数列，则，1k 111kpraaa，12132 21rpkp aaap因为，所以，与数列为正数相矛盾，因此，
9、当时不存在； 5 分2p0ra na1k 当时，设，则，所以， 7 分2kkprax ay az，112 xzy2xyzxy令，得，此时，21yx(21)zxyxx21kaxk212(21)1payxk 所以，21pk2(21)(43)2(452)1razkkkk所以；2452rkk综上所述，当时，不存在p，r；当时，存在满足题设.1k 2k221,452pkrkk10 分（3）作如下构造：，其中， 12322(23)(23)(25)(25)nnnakakkak，*kN它们依次为数列中的第项，第项，第项， 12 分na2265kk2288kk221013kk显然它们成等比数列，且，所以它们能组
10、成三角形 123nnnaaa 123nnnaaa由的任意性，这样的三角形有无穷多个 14 分*kN下面用反证法证明其中任意两个三角形和不相似：111ABC222A B C若三角形和相似，且，则，111ABC222A B C12kk1122 22 12(23)(25)(23)(25) (23)(23)kkkk kk整理得，所以，这与条件相矛盾，12122525 2323kk kk12kk12kk因此，任意两个三角形不相似故命题成立 16 分【注】1.第（2）小题当ak不是质数时，p，r的解不唯一；2.第（3）小题构造的依据如下：不妨设，且符合题意，则公比1，123nnn 123nnnaaa，q因
11、，又，则，所以，因为三项均为整数， 123nnnaaa 123nnnaaa21qq5112q所以为内的既约分数且含平方数因子，经验证，仅含或时不合，所q5112， 1na2123以； 12*(23)()nakpkpN，3第（3）小题的构造形式不唯一第 5 页 共 7 页数学数学 IIII（附加题）（附加题）2121 【选做题】本题包括 A，B，C，D 四小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A A选修 41：几何证明选讲【解】因为MA为圆O的切线，所以2MAMB MC又M为PA的中点，所以2MPMB MC因为，所以 5 分BMPPMC BMPPMC于是MPBMCP 在MCP中，由，得MPB=20 10 分180MPBMCPBPCBMP B B选修 42：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A A，1 11 即，得 5 分11111ab cd 1 1.ab cd ，同理可得 解得因此矩阵A A 10 分3212 328ab cd ， ，2321， ， ， abcd23
