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1、时间序列分析方法讲义 第 6 章 谱分析1第六章 谱分析 Spectral Analysis到目前为止， 时刻变量的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般ttY的模型形式为： 0jjtjtY我们研究的重点在于，这个结构对不同时点 和上的变量和的协方差具有什么ttYY样的启示。这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列的性质。 tY在本章中，我们讨论如何利用型如和的周期函数的加权组合来描述时)cos( t)sin(t间序列数值的方法，这里表示特定的频率，表示形式为：tYdtdtYt)sin()()cos()(00上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列性质
2、时所发挥的重要 tY程度如何。如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。6.1 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。6.1.1 母体谱及性质假设是一个具有均值的协方差平稳过程，第个自协方差为： tYj )(),cov(jttjttjYYEYY假设这些自协方差函数是绝
3、对可加的，则自协方差生成函数为： jjjYzzg)(这里表示复变量。将上述函数除以，并将复数表示成为指数虚数形式z2z，则得到的结果(表达式)称为变量的母体谱：)exp(iz1iY jji ji YYeegs21)(21)(注意到谱是的函数：给定任何特定的值和自协方差的序列，原则上都j j可以计算的数值。)(Ys利用 De Moivre 定理，我们可以将表示成为：jie)sin()cos(jijeji因此，谱函数可以等价地表示成为： jjYjijs)sin()cos(21)(注意到对于协方差平稳过程而言，有：，因此上述谱函数化简为：jj10)sin()sin()cos()cos(21)0sin
4、()0cos(21)( jjYjijijjis时间序列分析方法讲义 第 6 章 谱分析2利用三角函数的奇偶性，可以得到：10)cos(221)( jjYjs假设自协方差序列是绝对可加的，则可以证明上述谱函数存在，并且是 j)(Ys的实值、对称、连续函数。由于对任意，有：，因此是k2)()2(YYsks)(Ys周期函数，如果我们知道了内的所有的值，我们可以获得任意时的值。, 0)(Ys)(Ys6.2 不同过程下母体谱的计算假设随机过程服从过程： tY)(MAttLY)(这里：， 0)( jj jLL 0| jj tstsEst, 0,)(2根据前面关于过程自协方差生成函数的推导：)(MA)()(
5、)(12zzzgY因此得到过程的母体谱为：)(MA)()(21)(2ii Yees例如，对白噪声过程而言，这时它的母体谱函数是常数：1)(z2)(2 Ys下面我们考虑过程，) 1 (MA1tttY此时：，则母体谱为：zz1)()1 (21)1)(1 (21)(222iiii Yeeees可以化简成为：221( )12 cos( )2Ys显然，当时，谱函数在内是的单调递减函数；当时，谱函数0)(Ys, 00在内是的单调递增函数。)(Ys, 0对过程而言，有：) 1 (ARtttYcY1 这时只要，则有：，因此谱函数为：1|)1/(1)(zz)cos(21 21)1 (21 )1)(1 (21)(
6、22222 iiiiYeeees时间序列分析方法讲义 第 6 章 谱分析3该谱函数的性质为：当时，谱函数在内是的单调递增函数；当0)(Ys, 0时，谱函数在内是的单调递减函数。0)(Ys, 0一般地，对过程而言：),(qpARMAqtqtttptptttYYYcYLL22112211则母体谱函数为：)1 ()1 ()1 ()1 (2)(2 212 212 212 212ip piiiq qiiip piiiq qiiYeeeeeeeeeeeesLLLL如果移动平均和自回归算子多项式可以进行下述因式分解： )1 ()1)(1 (1212 21zzzzzzqq qLL)1 ()1)(1 (1212
7、 21zzzzzzpp pLL则母体谱函数可以表示为：pjjjqjjjYs1212 2)cos(21 )cos(21 2)( 从母体谱函数中计算自协方差从母体谱函数中计算自协方差如果我们知道了自协方差序列，原则上我们就可以计算出任意的谱函数 j的数值。反过来也是对的：如果对所有在内的，已知谱函数的数值，)(Ys, 0)(Ys则对任意给定的整数 k，我们也能够计算 k 阶自协方差。这意味着母体谱函数和k)(Ys自协方差序列包含着相同的信息。其中任何一个都无法为我们提供另外一个无法给 j出的推断。下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式：命题命题 6.1 假设是绝对可加的自协方差序列，
8、则母体谱函数与自协方差之间的 j关系为：deski Yk)(上述公式也可以等价地表示为：dksYk)cos()(利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。 解释母体谱函数假设，则利用命题 6.1 可以得到时间序列的方差，即，计算公式为：0k0dsY)(0根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数在区间内的面积就是，也就,0是过程的方差。更一般的，由于谱函数是非负的，对任意，如果我们能够计算：)(Ys, 01时间序列分析方法讲义 第 6 章 谱分析4dsY11)(这个积分结果也是一个正的数值，可以解释为的方差中与频率的绝对值小于的成tY1分相关的部分。注意到谱函数也是对称的，因此也可
9、以表示为：dsdsYY1110)(2)(这个积分表示频率小于的随机成分对方差的贡献。1tY但是，频率小于的随机成分对方差的贡献意味着什么？为了探索这个问题，我们1tY考虑更为特殊一些的时间序列模型： MjjjjjtttY 1)sin()cos(这里和是零均值的随机变量，这意味着对所有时间 t，有。进一步假设jj0tEY序列和是序列不相关和相互不相关的：M jj1M jj1， kjkjEj kj, 0,)(2 kjkjEj kj, 0,)(2，对所有的 j 和 k0)(kjE这时的方差是：tY MjjMjMjjjjjjjjttttEtEYE121122222222)(sin)(cos)(sin)
10、()(cos)()(因此，对这个过程来说，具有频率的周期成分对的方差的贡献部分是。如果jtY2 j频率是有顺序的：，则的方差中由频率小于或者等于的周ML210tYj期形成的部分是：。22 22 1jL这种情形下的 k 阶自协方差为：tYMjjjMjjjjjjMjjjjjjjkttkkttkttkttEkttEYYE1212122)cos()(sin)sin()(cos)cos()(sin)sin()()(cos)cos()()(因为过程的均值和自协方差函数都不是时间的函数，因此这个过程是协方差平稳tY过程。但是，可以验证此时的自协方差序列不是绝对可加的。 0kk虽然在上述过程中，我们已经过程的
11、方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献，我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。对于一般的情形，著名的谱表示定理(the spectral representation theorem)说明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式。对任意给定的固定频率，我们定义随机变量和，并假设可以将一, 0)()(个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为： 0)sin()()cos()(dttYt时间序列分析方法讲义 第 6 章 谱分析5这里需要对随机变量和的相关性给出更为具体的假设，但是上述公式便是)()(谱表示定理的一般形式。6.2 样本周期图 Sample Period
12、ogram对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程，我们已经定义在频率处的谱tY函数值为：， jji ji YYeegs21)(21)()( jttjYYE注意到母体谱是利用表示的，而表示的是母体的二阶矩性质。 0jj 0jj给定由表示的 T 个样本，我们可以利用下述公式计算直到阶的样Tyyy,21L) 1(T本自协方差：， 1, 2, 1,1, 1 , 0, )()(11TjTjyyyyjTjTjtjtt j LL TttyTy 11对于给定的，我们可以获得母体谱密度对应的样本情形，我们称其为样本周期图：1121)(TTjji jYes样本周期图也可以表示成为如下形式：10 11 ( )2cos()2TYj jsj类似地，我们可以证明样本周期图下的面积等于样本方差： dsY )(0样本周期图也是关于原点对称的，因此也有：dsY00)(2更为重要的是，谱表示定理在样本情形也有类似的表示。我们将要说明，对于平稳过 程的任意一个容量为的观测值序列，存在频率和系数，TTyyy,21LM,21L，使得 期的值可以表示成为：M,21LM,21Lty
