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1、第 12 章 动能定理143143第 12 章 动能定理一、是非题(正确的在括号内打“”、错误的打“”)1圆轮纯滚动时，与地面接触点的法向约束力和滑动摩擦力均不做功。 ( ) 2理想约束的约束反力做功之和恒等于零。 ( ) 3由于质点系中的内力成对出现，所以内力的功的代数和恒等于零。 ( ) 4弹簧从原长压缩 10cm 和拉长 10cm，弹簧力做功相等。 ( ) 5质点系动能的变化与作用在质点系上的外力有关，与内力无关。 ( ) 6三个质量相同的质点，从距地相同的高度上，以相同的初速度，一个向上抛出， 一个水平抛出，一个向下抛出，则三质点落地时的速度相等。 ( ) 7动能定理的方程是矢量式。
2、( ) 8弹簧由其自然位置拉长 10cm，再拉长 10cm，在这两个过程中弹力做功相等。( )二、填空题1当质点在铅垂平面内恰好转过一周时，其重力所做的功为 0 。 2在理想约束的理想约束的条件下，约束反力所做的功的代数和为零。 3如图 12.19 所示，质量为的均质杆，一端铰接在质量为的均质圆轮的轮1mOA2m心，另一端放在水平面上，圆轮在地面上做纯滚动，若轮心的速度为，则系统的动能ov。T2 022 0143 21vmvm4圆轮的一端连接弹簧，其刚度系数为，另一端连接一重量为的重物，如图kP12.20 所示。初始时弹簧为自然长，当重物下降为时，系统的总功。hW2 21khPhOv O A
3、k P h O 图 12.19 图 12.205如图 12.21 所示的曲柄连杆机构，滑块 A 与滑道 BC 之间的摩擦力是系统的内力， 设已知摩擦力为 F 且等于常数，则曲柄转一周摩擦力的功为。Fr4 6平行四边形机构如图 12.22 所示，曲柄以角速度rBOAO21BOAO21/AO1转动。设各杆都是均质杆，质量均为 m，则系统的动能 T =。22 65mr理论力学1441447均质杆 AB，长为 l，质量为，A 端靠在墙上，B 端以等速率沿地面运动，如mv图 12.23 所示。在图示瞬时，杆的动能为。2 92mvr O B C A B O1 A O2 图 12.21 图 12.228在图
4、 12.24 中，均质摆杆 OA，质量为，长；物块 B 的质量为15kgm 1 2ml.，由杆 OA 通过套筒带动在水平面内运动。设图示瞬时，杆 OA 的角速度215kgm ，则杆 OA 的动能为 ，滑块 B 的动能为。1rad s/0 9mh.J2 . 1J075. 6图 12.23 图 12.24三、选择题1若质点的动能保持不变，则 C 。(A) 其动量必守恒 (B) 质点必做直线运动(C) 质点必做匀速运动 (D) 质点必做变速运动 2汽车靠发动机的内力做功， D 。(A) 汽车肯定向前运动 (B) 汽车肯定不能向前运动(C) 汽车动能肯定不变 (D) 汽车动能肯定变 3如图 12.25
5、 所示，半径为、质量为的均质滑轮上，作用一常力矩，吊升一R1mM质量为的重物，则重物上升高度的过程中，力矩的功= A 。2mhMW(A) (B) (C) (D) 0hMR2m gh2hMm ghR4均质圆盘质量为 m，半径为 R，在水平面上作纯滚动，设某瞬时其质心速度为，0v则此时圆盘的动能是 B 。(A) (B) (C) (D) 2 01 2mv2 03 4mv2 03 2mv2 0mvB v A 60 30 O B h A 第 12 章 动能定理1451455如图 12.26 所示，三棱柱 B 沿三棱柱 A 的斜面运动，三棱柱 A 沿光滑水平面向左 运动。已知 A 的质量为，B 的质量为；
6、某瞬时 A 的速度为，B 沿斜面的速度为。1m2m1v2v则此时三棱柱 B 的动能 T = D 。(A) (B) 2 2 21 2m v2 2121()2m vv(C) (D) 22 2121()2m vv222 21221(cos )sin2mvvvO M R 1v 2v A B 图 12.25 图 12.266如图 12.27 所示，两均质轮质量为，半径均为，用绕在两轮上的绳系在一起。mR 设某瞬时两轮的角速度分别为和，则系统的动能 T = D 。12(A) 222 121 11 2 22mRm R(B) 2222 121 11 1 2 22 2mRmR(C) 22222 1221 111
7、 1 2 222 2mRm RmR(D) 22222 11221 111 1 2 222 2mRm RRmR四、计算题12-1 摆锤质量为 m，摆长为，如图 12.28 所示。求摆锤由点 A 至最低位置点 B，以0r及由 A 点经过最低位置点 B 到点 C 的过程中摆锤重力所做的功。 解：根据重力做功的公式，摆锤由点 A 至最低位置点 B，摆锤重力所做的功为)cos1 ()cos(000mgrrrmgWAB摆锤由 A 点经过最低位置点 B 到点 C 的过程中摆锤重力所做的功为 )sin(cos)sincos(000mgrrrmgWAC12-2 重量为的刚体在已知力的作用下沿水平面滑动，力与水平
8、面2000N500NF F 夹角。如接触面间的动摩擦系数，求刚体滑动距离时，作用于刚300.2f 30ms 体各力所做的功及合力所做的总功。 解：计算滑动摩擦力NFmgffFFNd350)30sin5002000(2 . 0)sin(o刚体滑动距离时，滑动摩擦力所做的功为30ms )(1050030350JsFWdFdO 1 R R 2 图 12.27理论力学146146主动力所做的功为F)(4 .1299030cos3050030cosooJFsWF其它力不做功。 合力所做的总功为)(4 .2490JWWWdFF、12-3 弹簧原长为，刚度系数为，一端固定，另一端与质点相连，0l1960N
9、mk/M如图12.29 所示。试分别计算下列各种情况时弹簧力所做的功。 (1) 质点由至；(2) 1M2M质点由至；(3) 质点由至。2M3M3M1MO r0 C B A gm O 2cm 2cm 3cm l0 M1 M2 M3 x 图 12.28 图 12.29解：根据弹力做功的公式，计算下列各种情况时弹簧力所做的功。 （1）质点由至，弹簧力所做的功为1M2M)(06. 2)05. 002. 0(21960)(21222 22 112JkW（2）质点由至，弹簧力所做的功为2M3M)(06. 2)02. 0(05. 021960)(21222 32 223JkW（3）质点由至，弹簧力所做的功为
10、3M1M002. 0)02. 0(21960)(21222 12 331kW12-4 计算图示各物体的动能。已知物体均为均质，其质量为 ，几何尺寸如图12.30 所m 示。(a) O A l (d) R C Cv (b) O R C (c) O R 图 12.30解：（a）杆子作定轴转动，它的动能为22222 61 31 21 21mlmlJTO第 12 章 动能定理147147（b）圆盘绕 O 点作定轴转动，它的动能为22222 43 23 21 21mRmRJTO（c）圆盘绕 O 点作定轴转动，它的动能为22222 41 21 21 21mRmRJTO（d）圆盘在水平面上作纯滚动，它的动能
11、为222222 43)(21 21 21 21 21 CC CCCmvRvmRmvJmvT12-5 如图 12.31 所示，与弹簧相连的滑块，可沿固定的光滑圆环滑动，圆环和弹M 簧都在同一铅直平面内。已知滑块的重量，弹簧原长为，弹簧刚度系100NW 15cml 数。求滑块从位置 A 运动到位置 B 过程中，其上各力所做的功及合力的400N mk/M 总功。 解：根据重力做功的公式，滑块从位置 A 运动到位置 B 过程中，重力所做的功为M)(101 . 0100JWhW、 根据弹力做功的公式，滑块从位置 A 运动到位置 B 过程中，弹力所做的功为M)(2122 BAkW、而，代入上式，可得mA1
12、662. 015. 01 . 03 . 022mB05. 015. 02 . 0)(03. 5)05. 01662. 0(2400)(212222JkWBA、合力的总功为)(03.15JWWW、 12-6 长为 、质量为的均质杆以球铰链固定，并以等角速度绕铅直线转动，lmOAO 如图 12.32 所示。若杆与铅直线的夹角为，试求杆的动能。OAB 20cm 10cm O A M O A x x dx 图 12.31 图 12.32解：将杆分成许多微段，先计算微段的动能dxlmxxdxlmdxvlmdT2sin)sin(221222 22整个杆子的动能为6sin 2sin22202220mldxl
13、mxdTTll理论力学14814812-7 摩擦阻力等于正压力与滑动摩擦系数的乘积。为测定动摩擦系数，把料车置于 斜坡顶处，让其无初速度地下滑，料车最后停止在 C 处，如图 12.33 所示。已知A ，试求料车运行时的动摩擦系数。12hss、f解：料车在坡顶处无初速度地下滑最后停止在 C 处，在该过程中重力和摩擦力均A 要做功，由动能定理，可知它们做功的和等于零。 料车在坡顶处下滑到 C 处，重力所做的功为AWhW、式中为料车的重力。而料车在坡顶处下滑到 C 处，摩擦力所做的功为WA222 1cosfWshsfWW、而，即摩擦力所做的功为122 1cosshs21fWsfWsW、由动能定理可知
14、，合力的功为零，即0)(21ssfWWhWWW、解得21sshf12-8 如图 12.34 所示，一不变力偶矩作用在绞车的均质鼓轮上，轮的半径为，Mr 质量为。绕在鼓轮上绳索的另一端系一质量为的重物，此重物沿倾角为的斜面上1m2m升。设初始系统静止，斜面与重物间的摩擦系数为。试求绞车转过后的角速度。fA h 1s 2s B C M B A v g2m yF NF dF g1m xF 图 12.33 图 12.34解：选系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。绞车转过，重物向上滑动 的距离。在此过程中，作用在鼓轮上的力偶矩所做的功为，滑动摩擦rs MMWM力所做的功为，重物重力所做的功为，而其cos2grfmsFWdFdsi
