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1、360360 数学专业基础课考试大纲（2010 版）请考生注意：请考生注意： 1 1、数学专业基础课试题含数学分析、高等代数两部分内容。、数学专业基础课试题含数学分析、高等代数两部分内容。 2 2、每部分试题满分、每部分试题满分 7575 分。分。数学分析部分的考试大纲一、基本内容与要求一、基本内容与要求( (一一) ) 极限论极限论1、透彻理解和掌握数列极限，函数极限的概念。掌握并能运用 -N，-X，- 语言处理极限 问题。2、掌握收敛数列的性质及运算。掌握数列极限的存在条件(单调有界准则，迫敛性法则，柯西 准则)；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握利用两个重要极限处理极限问题。3、理解
2、无穷小量和无穷大量的定义、性质和关系，掌握无穷小量阶的比较和方法。4、理解与掌握一元函数连续性的定义(点，区间)，间断点及其分类，连续函数的局部性质； 理解单侧连续的概念。5、掌握和应用闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性）； 掌握初等函数的连续性，理解复合函数的连续性，反函数的连续性。6、掌握实数连续性定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚 点定理、有限覆盖定理。7、理解平面点集的基本概念，二元函数的极限，累次极限，连续性概念；了解闭区间的套定 理，有限覆盖定理，多元连续函数的性质。 ( (二二) ) 微分学微分学1、理解和掌握导数与微分
3、概念及其几何意义；能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函 数的导数(特别是复合函数)。2、理解单侧导数、可导性与连续性的关系；掌握高阶导数的求法，导数的几何应用，微分在 近似计算中的应用。3、熟练掌握中值定理的内容、证明及其应用；熟练掌握泰勒公式及在近似计算中的应用，能 够把某些函数按泰勒公式展开。4、能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限；掌握函数的某些基本特性(单调性、极值与最值、 凹凸性、拐点及渐近线)，能较正确地作出某些函数的图象。5、掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数、极值等概念；搞清全微分、偏导数、连续 之间的关系；掌握多元函数泰勒公式；会求多元函数的极值。6、掌握隐函数的概
4、念及隐函数的存在定理；会求隐函数的导数；会求曲线的切线方程，法平 面方程，曲面的切平面方程和法线方程；掌握条件极值概念及求法。( (三三) ) 积分学积分学1、掌握原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法和三角有 理式积分法，并能利用它们来求函数的积分；会计算简单的无理函数的积分。 2、理解定积分概念及函数可积的条件；熟悉一些可积分函数类； 掌握定积分与可变上限积 分的性质；能熟练地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。3、掌握定积分的几何应用；掌握定积分在物理上的应用；掌握“微元法“。4、掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；.
5、能用收敛性判别法判断某些反 常积分的收敛性。5、掌握含参变量定积分的概念与性质； 掌握含参变量广义积分的收敛与一致收敛的概念； 掌握含参变量广义积分一致收敛的判别法；熟练应用欧拉公式。6、掌握两类曲线积分的概念及计算；掌握两类曲线积分的性质；掌握两类曲线积分的关系； 掌握格林公式的证明某些应用 ；会计算曲线积分。7、掌握二重、三重积分的概念、性质；会计算重积分；会求图形的面积，体积及物体的质量 与重心。8、掌握两类曲面积分的概念及计算；掌握两类曲面积分的性质； 掌握两类两类曲面积分的 关系；会计算曲面积分。9、熟练掌握 Gauss 公式、Stokes 公式及其应用。10、理解场论中的基本概念（
6、梯度、散度、环量、旋度、保守场和势函数），掌握保守场的 判别条件。（四）级数论（四）级数论1、理解无穷级数的收敛，发散，绝对收敛与条件收敛等概念；掌握收敛级数的性质；能熟练 应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的（绝对）敛散性；熟悉几何级数、调和级 数与 p 级数。2、掌握收敛域、极限函数与和函数、函数项级数与函数列的一致收敛等概念；掌握极限函数 与和函数的分析性质(会证明)；能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。3、掌握幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；掌握幂级数的性质；会求幂级 数的收敛半径与一些幂级数的收敛域；会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展
7、开法求函数 的泰勒展开式。4、掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念；能正确地叙述傅里叶级数收敛性判 别法；能将一些函数展开成傅里叶级数。二、参考书目二、参考书目1.数学分析（上册、下册） 华东师范大学数学系编（第三版） 高等教育出版社2.数学分析（上册、下册）陈纪修等编（第三版） 高等教育出版社高等代数部分的考试大纲一、基本内容与要求一、基本内容与要求1、 整数与数域上多项式的基本理论掌握整数与多项式（包括对称多项式）的基本概念和求最大公因数和最大公因式的 Euclid 算 法，多项式函数的特点及根与系数的关系，Eisenstein 准则，了解代数基本定理及其应用。2、 线性方程组掌
8、握求解线性方程组的 Guass 消元法，有解判定准则和解的结构定理；熟练掌握初等变换以 及在求秩、逆矩阵及解线性方程组等方面的应用。3、 矩阵运算了解矩阵及其运算以及和数域F上向量空间nF上的线性映射的关系；熟练掌握矩阵的计算 方法和行列式的基本性质及计算技巧；学会线性方程组问题和矩阵问题的对应关系。4、线性空间基本理论掌握线性空间、线性映射的基本概念和理论，如子空间、不变子空间和直和的定义与性质， 向量的坐标及其在线性映射的性质，了解空间的分解和分块阵的关系。5、线性变换的基本性质和理论掌握线性变换的运算性质及特征值、特征向量和特征多项式的定义和计算，矩阵相似的概念和判定方法，Jordan
9、标准形的计算应用，矩阵对角化的条件和判定方法；了解矩阵的性质和 应用及有理标准形的定义。6、欧几里得空间基本理论 掌握欧几里得空间的基本性质，正交基和 Schmidt 正交化方法以及实对称矩阵的基本性质， 掌握将实对称矩阵化成对角阵的方法；了解最小二乘法及酉空间的定义；学会将线性方程组问题， 矩阵问题，线性变换问题的相互转化， “几何地”思考理解线性代数问题。 7、对称矩阵和二次型理论 掌握二次型的基本理论及与矩阵理论的对应关系，掌握正定二次型的性质和应用及将实二次 型化成标准型的方法，了解多重线性代数的基本概念。二、参考书二、参考书1、高等代数，北京大学数学系 王萼芳等编，高等教育出版社，2003 年版。2、线性代数（数学专业用），李尚志编著，高等教育出版社，2006 年版。
