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1、1专题 006：函数及其表示、解析式（师） 考点要求： 1主要考查函数的解析式的求法2考查分段函数的简单应用3由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查4正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的 错误 知识结构：1函数的基本概念(1)函数的定义：设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数 yf(x)，xA 中，x 叫自变
2、量，x 的取值范围 A 叫做定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合 B 的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据2函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法3映射的概念一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射4分段函数与复合函数 如果一个函数在定义域的
3、不同子集中 因 对应关系 不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数. 分段函数的求法是分别求出 解析式 再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏。 如果 y=f(u)，u=g(x)，那么函数 y=fg(x)叫做复合函数，其中 f(u)叫做外层 函数，g(x)叫做 内层 函数。 5求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知求或已知求：换元法、配凑法；( )f x ( )f g x ( )f g x( )f x （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；( )f x
4、( )f x （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 基础训练： 1下列各对函数中，表示同一函数的是( C )Af(x)lg x2，g(x)2lg x Bf(x)lg，g(x)lg(x1)lg(x1)x1x1Cf(u) ，g(v) Df(x)()2，g(x)1u1u1v1vxx22设函数，则3,(10)( )( (5),(10)xxf xf f xx(5)f823.设集合，从到有四种对应如图所示： 02Mxx02NyyMN其中能表示为到的函数关系的有_ MN4.已知函数是一次函数，且，,则_15_( )f x(3)7f(5)1f (1)f5.设函数，则_；_( )23f xx( )35
5、g xx( ( )f g x( ( )g f x6.设函数，,则_3_；1( )1f xx2( )2g xx( 1)g (2)f g1 7 ( )f g x21 3x 7 （1），；AR |0By y:|fxyx（2），；* |2,Ax xxN|0,By yyN2:22fxyxx（3）， |0Ax x |By yR:fxyx 上述三个对应（2）是到的映射AB 例题选讲： 例 1：判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的映射：C (1)A=R,B=x|x0，f:x|x|； (2)A=N,B=N，f:x|x-2|； (3)A=x|x0,B=R，f:xx2. 分析 (1)0A，在法则 f 下，0
6、|0|=0B，故该对应不是从集合 A 到集合 B 的映射；(2)2A，在法则 f 下，2|2-2|=0B，故该对应不是从集合 A 到集合 B 的映射； (3)对于任意 xA，依法则 f:xx2B，故该对应是从集合 A 到集合 B 的映射. 小结函数是特殊的映射，即从非空数集到非空数集的映射函数是特殊的映射，即从非空数集到非空数集的映射.例 2：设有函数组：，；，；21( )1xf xx( )1g xx( )11f xxx 2( )1g xx，；，其中表示同一个函数的有2( )21f xxx( )1g xx( )21f xx( )21g tt分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是
7、否相同解：在中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；( )f x1x x ( )g xR在中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；( )f x1,)( )g x(, 11,) 是同一函数 点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域 也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可例 3：(1)已知 flg x，求 f(x)；(2x1)（2）已知函数，求；(1)2fxxx( )f x(3)已知 f(x)是二次函数，若 f(0)0，且 f(x1)f(x)x1，试求 f(x)的表达式(4)已知 f(x)
8、2f( )2x1，求 f(x)1x67x64x122xyOy122xO122xOy122xOy3解 (1)令 t 1，则 x，2x2t1f(t)lg ，即 f(x)lg .2t12x1（2）换元法：f(x)=x2-1 (x1)(3)由题意可设 f(x)ax2bx(a0)，则a(x1)2b(x1)ax2bxx1ax2(2ab)xabax2(b1)x1Error!解得 a ，b .1212因此 f(x) x2 x.1212(4)由已知得Error!消去 f，(1x)得 f(x).4x2x23x说明：求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等例 4.甲
9、同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2km，甲 10 时出发前往 乙家如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y（km）与时间 x（分）的关系试写出的函数解析式( )yf x分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式解：当时，直线方程为，当时，直线方程为，0,30x1 15yx40,60x1210yx1 0,30,15 ( )2(30,40), 140,60.210xx f xx xx 点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达要注意求出 解析式后，一定要写出其定义域 例 5矩形的长，宽，动点、分别在、上，
10、且， （1）将的ABCD8AB 5AD EFBCCDCECFxAEF 面积表示为的函数，求函数的解析式；Sx( )f x( )Sf x（2）求的最大值S解：（1）2111( )408 (5)5 (8)222ABCDCEFABEADFSf xSSSSxxx YxyO123410 20 30 40 50 60例 4422113113169()22228xxx ，CECBCD05x函数的解析式：；( )Sf x2113169( )()(05)228Sf xxx （2）在上单调递增，即的最大值为( )f x0,5xmax(5)20SfS20巩固作业：A 组：一、选择题：1下列函数中，与函数相同的函数是
11、 （ ）yxC( )A2xyx( )B2()yx( )Clg10xy ()D2log2xy 2已知集合，映射，在作用下点的象是，则集合 ( , )|1Mx yxy:fMNf( , )x y(2 ,2 )xyN （ ）D( )A( , )|2,0,0x yxyxy( )B( , )|1,0,0x yxyxy( )C( , )|2,0,0x yxyxy()D( , )|2,0,0x yxyxy解法要点：因为，所以2xy2222xyx y二、填空题：3给定映射，点的原象是或:( , )(2,)fx yxy xy11( ,)6611( ,)321 2(, )4 34设有函数组：，；，；，；，yx2yx
12、yx33yxyxxyx1(0), 1(0),xyx；，其中表示同一个函数的有_ xyxlg1yxlg10xy 5已知，且，则 m 等于_ （答：）1(1)232fxx( )6f m 1 46已知 a，b 为常数，若，则_2_34)(2xxxf2410)(2xxbaxfba57.设 f(x)，则 ff()_2|1| 2,| 1, 1, | 11xxxx218.如图所示的图象所表示的函数解析式为_ 三、解答题：9. 已知函数与分别由下表给出：( )f x( )g xx1234f(x)2341(1)求的值； (2)若2 时，求的值；( (3)g f( ( )g f xxx1234g(x)2143第
13、8 题4 13(0x2)|1|23 23xy5略解：（1）；（2） 4；( (3)3g f10.下列从 M 到 N 的各对应法则中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？ (1)M=直线 Ax+By+C=0，N=R，f1:求直线 Ax+By+C=0 的斜率; (2)M=直线 Ax+By+C=0，N=|0，f2:求直线 Ax+By+C=0 的倾斜角; (3)当 M=N=R，f3:求 M 中每个元素的正切；(4)M=N=x|x0，f4:求 M 中每个元素的算术平方根. 解：(1)当 B=0 时，直线 Ax+C=0 的斜率不存在，此时 N 中不存在与之对应的元素，故 f1 不是从 M 到 N
14、 的映射，也就 不是函数了. (2)对于 M 中任一元素 Ax+By+C=0，该直线恒有唯一确定的倾斜角 ，且 0，)，故 f2 是从 M 到 N 的映射.但 由于 M 不是数集，从而 f2 不是从 M 到 N 的函数.(3)由于 M 中元素2k (kZ)的正切无意义，即它在 N 中没有象，故 f3 不是从 M 到 N 的映射，自然也不是函数.(4)对于M中任一非负数，其算术平方根唯一且确定，故f4 是从M到N的映射，又M、N均为非空数集，所以f4 是从M到N的函数.11 （1）已知，求；3 311()f xxxx( )f x（2）已知，求；2(1)lgfxx( )f x（3）已知是一次函数，且满足，求；( )f x3 (1)2 (1)217f xf xx( )f x（4）已知满足，求( )f x12 ( )( )3f
