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1、1学案学案 5858 古典概型古典概型导学目标： 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事 件数及事件发生的概率自主梳理 1古典概型 一般地，一次试验有下面两个特征 (1)有限性试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性 每个基本事件的发生都是等可能的，称这样的概率模型为古典概型 2古典概型的概率公式 如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都 是_；如果某个事件 A 包含了其中 m 个等可能基本事件，那么事件 A 发生的概率为 P(A)_. 自我检测 1若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵
2、坐标，则点 P 在直线 xy5 下方的概率为_ 2一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小正方体，若将这些小正 方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是_ 3三张卡片上分别写上字母 E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单 词 BEE 的概率为_ 4有 100 张卡片(编号从 1 号到 100 号)，从中任取 1 张，取到卡号是 7 的倍数的概率 为_ 5在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任 取三个，这三点能构成三角形的概率是_(用分数表示).探究点一 写出基本事件例 1 有两
3、颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字 1,2,3,4，下面做投掷这两颗 正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中 x 表示第 1 颗正四面体玩具出现的点数， y 表示第 2 颗正四面体玩具出现的点数试写出： (1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于 3” ； (3)事件“出现点数相等” 变式迁移 1 一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球，从中一次 摸出两只球问： (1)共有多少个基本事件？2(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？探究点二 古典概型的概率计算 例 2 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定 3 个男生
4、和 2 个女生来参与，把 5 个人分别编号为 1,2,3,4,5，其中 1,2,3 号是男生，4,5 号 是女生，将每个人的号分别写在 5 张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从 中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目 (1)为了选出 2 人来表演双人舞，连续抽取 2 张卡片，求取出的 2 人不全是男生的概率；(2)为了选出 2 人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中， 充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率变式迁移 2 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个 5 点或 6 点的概率 3探究点三 古典概型的综合问题 例 3 汽车厂生产
5、 A，B，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月 的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中 有 A 类轿车 10 辆 轿车 A轿车 B轿车 C 舒适型100150z 标准型300450600 (1)求 z 的值； (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本将该样本看成一个总体， 从中任取 2 辆，求至少有 1 辆舒适型轿车的概率； (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆，经检测它们的得分如下： 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这 8 辆轿车的得分看成一个总体，
6、从中任取一个数， 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率变式迁移 3 为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况，调 查部门对某校 6 名学生进行问卷调查，6 人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这 6 名学生的 得分看成一个总体 (1)求该总体的平均数； (2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分组成一个样本求该样 本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率分类讨论思想 例 (14 分)甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2、红桃 3、红桃 4、方片 4)玩游戏， 他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽
7、，抽出的牌不放回，各抽一 张 (1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情4况； (2)若甲抽到红桃 3，则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少？ (3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜你认为此 游戏是否公平，说明你的理由 多角度审题 本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问 题转化为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃 2、红桃 3、红桃 4 和方片 4 分别用数字 2,3,4,4表示，抽象出基本事件，把复杂事件用基本事件表示，找出总体 I 包含的基本事件总数 n 及事件 A 包含的基本事件个数 m，用公
8、式 P(A) 求解m n 【答题模板】 解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4表示，其他用相应的数字表示) 为(2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4，2)， (4，3)，(4，4)，共 12 种不同情况6 分 (2)甲抽到红桃 3，乙抽到的牌的牌面数字只能是 2,4,4，因此乙抽到的牌的牌面数字比 3 大的概率为 .10 分2 3 (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)，共 5 种，故甲胜的概率 P1，同理乙胜的概率 P2.因为 P1P2，所以
9、此游戏公5 125 12 平14 分 【突破思维障碍】 (1)对一些较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可 计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗 漏，绝不重复 (2)取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，好多实际问题都可以归结到取球模型 上去，特别是产品的抽样检验，解题时要分清“有放回”与“无放回” ， “有序”与“无序” 等条件的影响 【易错点剖析】 1题目中“红桃 4”与“方片 4”属两个不同的基本事件，应用不同的数字或字母标 注 2注意“抽出的牌不放回”对基本事件数目的影响1基本事件的特点主要有两条：任何两个基本事件
10、都是互斥的；任何事件都可以 表示成基本事件的和 2古典概型的基本特征是：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基 本事件出现的可能性相等 3计算古典概型的基本步骤有：判断试验结果是否为等可能事件；求出试验包括的基本事件的个数 n，以及所求事件 A 包含的基本事件的个数 m；代入公式 P(A) ，求m n 概率值课后练习课后练习(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分) 1同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率为_ 2将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 b，c，则方程 x2bxc0 有实 根的概率为_ 3在五个数字 1,2,3,4,5 中，若随机取出
11、三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率5是_(结果用数值表示) 4连续掷两次骰子分别得到点数 m、n，则向量(m，n)与向量(1,1)的夹角 90 的概率为_ 5在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球，这些小球除标注的数字外 完全相同现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 _ 6在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多 12 人，从这些教师中随机挑选一人表演节目若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有_人9 207在集合x|x，n1,2,3，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程n 6cos x 的概率为_1 2 8现有 5
12、 根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次 随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m的概率为_二、解答题(共 42 分) 9(14 分)袋子中装有编号为 a，b 的 2 个黑球和编号为 c，d，e 的 3 个红球，从中任 意摸出 2 个球 (1)写出所有不同的结果； (2)求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率； (3)求至少摸出 1 个黑球的概率10(14 分)某商场举行抽奖活动，从装有编号 0,1,2,3 四个小球的抽奖箱中，每次取 出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖，等于 4 中二等奖， 等
13、于 3 中三等奖 (1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率611(14 分)已知实数 a，b2，1,1,2 (1)求直线 yaxb 不经过第四象限的概率； (2)求直线 yaxb 与圆 x2y21 有公共点的概率学案学案 5858 古典概型古典概型 答案答案自主梳理2 1 nm n 自我检测1 2 31 612 1251 3 40.14 解析 卡号是 7 的倍数有：7,14,21，98.共有 m114，总共 n100.987 7P 0.14.m n54 5 解析 A、C、E 在直线 yx 上，B、C、D 在直线 yx2 上，任取三点列举知有 10 种取法，共线有 2 种取法取三点能构成三角
14、形的概率为 .102 104 5 课堂活动区 例 1 解题导引 计算古典概型所含基本事件总数的方法： (1)树形图；(2)列表法；(3)另外，还可以用坐标系中的点来表示基本事件 解 (1)这个试验的基本事件为 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4) (2)事件“出现点数之和大于 3”包含以下 13 个基本事件： (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,
15、2)，(4,3)，(4,4) (3)事件“出现点数相等”包含以下 4 个基本事件： (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4) 变式迁移 1 解 (1)分别记白球为 1,2,3 号，黑球为 A，B 号，从中摸出 2 只球，有 如下基本事件： (1,2)，(1,3)，(1，A)，(1，B)，(2,3)，(2，A)，(2，B)，(3，A)，(3，B)，(A，B)， 因此，共有 10 个基本事件 (2)上述 10 个基本事件发生的可能性相同，且只有 3 个基本事件是摸到两只白球(记为7事件 A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故 P(A).3 10例 2 解题导引 古典概型的概率计算公式是 P(A) .由此可知，利用列举法算出所m n 有基本事件的个数 n 以及事件 A 包含的基本事件数 m 是解题关键必要时可以采用画树状 图或列表法辅助列举基本事件 解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取 2 张卡片的所有可能结果(如下图所示)由上图可以看出，试验的所有可能结果数为 20，因为每次都随机抽取，因此这 20 种 结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型 用 A1表示事件“连续抽取 2 人一男一女” ，A2表示事件“连续抽取
