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1、第 1 页（共 9 页）兰州第十中学兰州第十中学 数学组数学组 20132013 年最新八年级数学竞赛讲座年最新八年级数学竞赛讲座 第二十讲第二十讲 飞跃飞跃- -从全等到相似从全等到相似全等三角形是相似三角形的相似比等于 1 的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等通过寻找(或构造)相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方
2、面有广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一熟悉以下形如“A 型” 、 “X 型” “子母型”等相似三角形例题求解例题求解【例 1】如图，ABC 中，ABC=60，点 P 是ABC 内一点，使得APB=BPC=CPA，且PA=8，PC=6，则 PB= (全国初中数学竞赛题)思路点拨思路点拨 PA、PB、PC 分别是ABP、BCP 的边，从判定这两个三角形的关系入手注 相似是几何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的几何形态上，而且还体现在事物的功能、结构、原理上类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中，著名物理学家麦克斯韦曾说：“借助类比，我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式
3、 ”在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比这里蕴含的思想方法就是类比 第 2 页（共 9 页）【例 2】 a、b、c 分别是ABC 的三边的长，且cbaba ba ，则它的内角A、B 的关系是( )AB2A BB=2A CBAE) (1)AEF 与EFC 是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由；(2)设kBCAB，是否存在这样的k值，使AEF 与BFC 相似?若存在，证明你的结论并求出k的值：若不存在，说明理由(重庆市中考题)思路点拨思路点拨 本例是一道存在性探索问题，对于(2)，假设存在，则 RtAEF 与 RtBFC 中有一对锐角相等，怎样由边的比值得出角
4、的关系?不妨从特殊角入手，逆推求出k的值【例 5】 如图，ABC 和AlBlC1均为正三角形，BC 和 B1C1的中点均为 D求证：AA1CC1(重庆市竞赛题)第 3 页（共 9 页）思路点拨思路点拨 作出等边三角形最基本的辅助线，并延长 AAl交 CCl于 E，寻找相似三角形，证明A=90注 比例线段(或等积式的)证明是几何问题中的常见题型基本证法有：(1)从相似三角形入手；(2)利用平行截割定理有时需根据要证明的式子，过恰当的点作平行线，在具体证明过程中，常常要作等线段代换、等比代抉或等积代换，以促使问题的转化将问题置于几何问题的背景中探索，要综合运用几何代数知识，多角度思考尝试，需要注意
5、的是，若题目没有指出具体的对应关系，结论常常具有不确定性，需要分类讨论学力训练学力训练1如图，由边长为 1 的 25 个小正方形组成的正方形网格上有一个ABC，在网格上，画出一个与ABC相似且面积最大的A1BlC1，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则A1BlC1的面积是 (泰州市中考题)2如图，在ABC 中，AB=15cm，AC=12cm，AD 是BAC 的外角平分线，DEAB 交 AC 的延长线于点 C，那么 CE= cm (重庆市中考题)3如图，正方形 ABCD 的边长为 2，AE=BE，MN=1，线段 MN 的两端点在 CB、CD 上滑动，当 CM= 时，AED 与以 M、N、C
6、为顶点的三角形相似(桂林市中考题)4如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，AEEF，有下列结论：BAE=30；CE2=ABCF；CF=31CD；ABEAEF其中正确结论的序号是 (黄冈市中考题)5如图，在ABC 中，BAC=90，D 是 BC 中点，AEAD 交 CB 延长线于点 E，则结论正确的是( )AAEDtACD BAEBACD CBAEACE DAECDAC第 4 页（共 9 页）(江苏省竞赛题)6如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，对角线 ACBD 于 P，若43BCAD，则ACBD的值是（ ）A23B32C33D43(2000 年
7、绍兴市中考题)7如图，将ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90，得ABF，连结 EF 交 AB 于 H，则下列结论错误的是( )AAEAF BEF：AF=1:2 CAF2=FHFE DECHB FCBF (黑龙江省中考题)8如图，在等边ABC 中，P 为 BC 上一点，D 为 AC 上一点，且APD=60，BP=1，CD32，则ABC 的边长为( )A3 B4 C5 D 6 (黑龙江省中考题)9已知：正方形的边长为 1(1)如图，可以算出一个正方形的对角线长为2，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，并猜想出 n 个正方形并排拼成的矩形的对角线长(2)根据图，求证：BCKBE
8、D(3)由图，在下列所给的三个结论中，选出一个正确的结论加以证明：BEC+BDE=45；BEC+BED=45；BEC+DFE=45第 5 页（共 9 页）10如图，在ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P 从 A 点出发，沿 AB 以每秒 4的速度向点 B 运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3的速度向 A 点运动，设运动的时间为 x(1)当 x 为何值时，PQBC?（2）当31 ABCBCQ SS时，求 ABCBPQ SS的值；(3)APQ 能否与CQB 相似?若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由(金华市中考题)11如图，设 P 是等边ABC 的一边
9、BC 上的任意一点，连结 AP，它的垂直平分线交 AB、AC 于 M、N 两点，求证：BPPC=BMCN (安徽省竞赛题)12已知平行四边形 ABCD 中，过点 B 的直线顺次与 AC、AD 及 CD 的延长线相交于点 E、F、G，若 BE=5，EF=2，则 FG 的长是 ( “弘晟杯”上海市竞赛题)第 6 页（共 9 页）13如图，ABCD 是正方形，E、F 是 AB、BC 的中点，连结 CC 交 DB、DF 于 G、H，则 EG：GH：= (重庆市竞赛题)14如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ABCD，一直线交 BA 延长线于 E，交 DC 延长线于 J，交 AD 于 F，BD于 G，
10、AC 于 H，BC 于 I，已知 EF=FG=GH=HI=IJ，则ABDC(“祖冲之杯”邀请赛试题)15已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为41，那么两底的比为( )A21B41C81D161(江苏省竞赛题) 16如图，若 PA=PB，APB=2ACB，AC 与 PB 交于点 D，且 PB=4，PD=3，则 ADDC 等于( )A6 B7 C 12 D16(TI 杯全国初中数学竞赛试题)17如图，在ABC 中，D 是边 AC 上一点，下面 4 种情况中，ABDACB 不一定成立的情况是( )AADBC=ABBD BAB2=ADAC CABD=ACB DABBC=ACBD(
11、全国初中数学联赛题)18如图，正方形 ABCD 中，M 为 AD 中点，以 M 为顶点作BMN=MBC，MN 交 CD 于 N，求证：DN=2NC19如图，梯形 ABCD 中，ABCD，ABCD，K、M 分别是AD、BC 上的点，已知DAM=CBK，求证：DMA=CKB (“祖冲之杯”邀请赛试题)第 7 页（共 9 页）20如图，ABC 中，ACB=2ABC，求证：AB2=AC2+ACBC21如图，AB 是等腰直角三角形的斜边，若点 M 在边 AC 上，点 N 在边 BC 上，沿直线 MN 将MCN 翻折，使点 C 落在 AB 上，设其落点为点 P(1)当点 P 是边 AB 的中点时，求证：CNCM PBPA；(2)当点 P 不是边 AB 的中点时，CNCM PBPA是否仍然成立?请证明你的结论(2001 年北京市宣武区中考题) 22如图，若WUEF VWCD UVAB，求证：ZXFA YZDE XYBC(武汉市选拔赛试题)第 8 页（共 9 页）第 9 页（共 9 页）
