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1、姜老师 高二数学 新王牌教育立体几何教案立体几何教案一，一，空间直线与直线的关系空间直线与直线的关系a ，相交 b ，平行 c ，异面 a , 相交直线相交直线b, 平行公理：平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线平行c, 异面直线：异面直线： 1，求异面直线所成角问题，求异面直线所成角问题 注：利用平行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角异面直线所成角的范围9000,o 平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角例：正方体DCBAABCD1111中，E，F 分别是C11C和BB中点，则直线AE 和 BF 所成角的余弦值 补形法 补形：底面是直角三角形的直三棱柱可以
2、补成一个长方体例：在直三棱柱ABCCBA111中，90oBCA，点FD11,分别是CABA1111,中点，BC=CA=CC1，则F11A与DB所成角的余弦值A、1030B、21C、1530D、10152 2，求异面直线之间的距离问题，求异面直线之间的距离问题和两条异面直线垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的长度叫做异面直线的距离。姜老师 高二数学 新王牌教育二，二，空间直线和平面关系空间直线和平面关系a , 直线与平面平行b , 直线与平面垂直c , 直线与平面斜交射影定理和三垂线定理a,a, 线面平行线面平行 1， 判定定理： 若平面外一条直线和这个平面内的一条直
3、线平行，则这条直线和这个 平面平行。2， 性质定理：若一条直线和一个平面平行，则过这条直线的平面和这个已知平面的交 线必和这条直线平行。b,b, 线面垂直线面垂直1， 判定定理： I, 若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这 个平面垂直。II, 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个 平面。2， 性质定理： I，若两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。II，过一点能且仅能做一条直线与一个平面垂直。c,c, 射影定理射影定理1，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长。2，相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长。3，垂线段比任何一条
4、斜线段都短。d,d, 三垂线定理三垂线定理1，平面内的一条直线，若和斜线在平面内的射影垂直，则这条直线和斜线垂直。2，平面内的一条直线，若和平面的斜线垂直，则这条直线和斜线在平面内的射影垂直。姜老师 高二数学 新王牌教育三，三，空间平面和平面的关系空间平面和平面的关系a, 面面平行 b, 面面垂直 c, 面面斜交a a , , 面面平行面面平行1， 判定定理：I， 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个 平面平行。II， 垂直于同一条直线的两个平面平行。III 如果一个平面上的两条相交直线分别和另一个平面上的两条直线平 行，那么这两个平面平行。2， 性质定理： I， 如果两
5、个平行平面分别和第三个平面相交，那么它们的两条交线平 行。II， 夹在两个平行平面间的平行线段的长相等。III，如果两个平行平面中，有一个平面和一条直线垂直，那么另一个平 面也和这条直线垂直。b,b, 面面垂直面面垂直1，定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。2，判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。3，性质定理：I， 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。II， 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，在第一个平面内。III，如果两个相交平面都垂直于
6、第三个平面，那么它们的交线也垂直于 第三个平面。c,c, 二面角二面角定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的 两条射线，两条线所成的角叫做二面角的平面角。姜老师 高二数学 新王牌教育空间直线，平面的做题方法。空间直线，平面的做题方法。一、一、空间平行关系转化图及相关定理空间平行关系转化图及相关定理I，线面平行的判定方法，线面平行的判定方法平行关系转画图平行关系转画图 行利用面面平行证线面平行利用线线平行
7、证线面平向量法向量法（后面讲） 线面平行定义线面平行定义:直线与平面没有公共点II，线线平行关系的判定，线线平行关系的判定常见的线线平行的判断方法有常见的线线平行的判断方法有平行关系转画图平行关系转画图 从面面平行到线面平行从线面平行到线线平行平行公理三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形中位线性质三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形中位线性质 在找三角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分 利用平行线分线段成比例定理推论找平行线利用平行线分线段成比例定理推论找平行线 平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例ABCDEDEBCEC
8、AE DBADBCDE ACAE ABAD注：反之任取一组比例式可推得DEBC线线平行 公理平行 线线平行性质定理线面平行判定定理线面平行线面平行基本性质面面平行判定定理面面平行面面平行面面平行判定定理推论面面平行性质定理姜老师 高二数学 新王牌教育ABCDEDEBCBCDE ABEA ACDA注：反之任取一组比例式可推知DEBC向量法向量法（后面讲） 垂直于同一平面的两条直线平行垂直于同一平面的两条直线平行 例 如图所示：已知 E，F，G，M 分别是四面体的棱 AD，CD，BD，BC 的中点，求证： AM|面 EFGNGENACMB设计说明：可以通过面面平行证线面平行例 已知正方体 ABCD
9、-DCBA1111，棱长为 a,E,F 分别在BA1，BD 上，且BFEB1求证：EF|平面BCBC11法一：AD1B1C1A1ECDBMF 本题证明从线线平行到线面平行。 在找线线平行时应用平行线分线 段成比例定理推论法二：姜老师 高二数学 新王牌教育HEFGCDBD1C1B1A1A法二也是从线线平行到线面平行， 做平行线构造平行四边形证线线 平行III 面面平行关系的判定面面平行关系的判定面面平行判定方法面面平行判定方法平行关系转画图平行关系转画图 行利用线线平行证面面平行利用线面平行证面面平向量法（后面讲）向量法（后面讲） 垂直于同一直线的两个平面平行垂直于同一直线的两个平面平行 面面平
10、行的定义：两个平面没有公共点面面平行的定义：两个平面没有公共点例 三棱柱 ABC-CBA111，D 是 BC 上一点，且BA1|平面DAC1，D1是CB11中点，求证：平面DAB11|平面DAC1例 1 如图所示正方体 ABCD-DCBA1111的棱长都是 a,M,N 分别是下底面棱CBBA1111,的中点，P 是上底面棱 AD 上一点，AP=3a，过 P，M，N 的平面交上底面于 P，Q，Q 在CD 上，则 PQ=姜老师 高二数学 新王牌教育答案：a322DCBAD1C1B1A1PNMQ二二 ，空间垂直关系转化图及相关定理，空间垂直关系转化图及相关定理典型例题I I， 线面垂直的判定与性质线
11、面垂直的判定与性质线面垂直与面面垂直是今后我们要研究的主要问题。问题的关键是线线垂直。 线线垂直的判定方法 空间线面垂直证线线垂直空间线面垂直证线线垂直 利用三垂线定理利用三垂线定理 向量法向量法 利用勾股定理算垂直利用勾股定理算垂直 线面垂直的判定方法空间垂直关系转化图空间垂直关系转化图 直利用面面垂直证线面垂直利用线线垂直证线面垂向量法向量法例 1 如图所示，AB 圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点，ABC面AP，BPAE 于 E，CPAF 于 F，求证：AEFBP平面线线垂直线面垂直定义线面垂直的判定定理 线面垂直面面垂直的性质定理面面垂直的判定定理 面面垂直姜老师 高二数学 新王牌教
12、育CFEOBAP本题通过线线垂直证明线面垂直，在找 线面垂直条件时采用了三垂线定理和圆 的直径对直角的性质练习：如图已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点，若o45PDA求证：PCD面MNDCQNMBAP提示：取 PD 中点 Q，证 AQ 与面 PCD 垂直，从而利用“线面垂直 的性质定理”证 MN 与面 PCD 垂 直例 2、直三棱柱ABCCBA111中，M 为 AC 中点求证：BMC11平面CA222CBAC1 B1A1设计说明： 牢牢把握直（正）棱柱，正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题（空间平行关系的判姜老师 高二数学 新王牌教育定与性质及空间
13、垂直关系的判定与性质）有很大帮助。 在三视图的环境下证明线面，面面关系是几何证明的一个重点练习：如图所示，直三棱柱 ABC-CBA111中，CACB1111，BAAC11，M，N 是BA11，AB 的中点，求证:BACABM111面求证：AMBA1求证：平面CNB11面CAMNMCBAC1B1A1练习：如图，在直三棱柱 ABC-CBA111中，AB=BC=BB1，D 为 AC 的中点求证:BD|CA11面B若BDAAC11面求证：ABCB1111AB面在的条件下，设 AB=1，求三棱锥 B-DCA11的体积IIII，面面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质面面垂直的判定方法 空间垂直关系转化
14、图：利用线面垂直证面面垂直 向量法例 1 如图，ABC为正三角形，ABC平面EC，BD|CE，且 CE=CA=2BD，M 是 EA 的中点， 求证：DE=DA 平面 BDM平面 ECA 平面 DEA面 ECA姜老师 高二数学 新王牌教育CEABD M取 AC 中点 N,证明 DN|BN 再 证 BN面 ECA，利用线面垂 直的性质定理知 DM面 ECA 最后利用线面垂直证面面垂直例 2 已知BCD中，90oBCD，BC=CD=1，BCD面AB，60ADBo，E，F分别是 AC，AD 上动点，且10ADBF ACAE求证：不论为何值时，总有平面 BEF面 ABC 当为何值时，平面 BEF面 ACDCBFEAD第二问是存在性问题 当 BEF面 ACD 时由一问可知ABC面EF
