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1、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4-1 刚体运动刚体运动一、刚体一、刚体定义：物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。说明说明：刚体是理想模型刚体模型是为简化问题引进的。二、刚体运动二、刚体运动刚体运动：（1）平动：刚体内任一直线方位不变。特点：各点运动状态一样，如：ar 、vr 等都相同，故可用一个点来代表刚体运动。（2）转动：1）绕点转动2）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动说明说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。 （如：乒乓球飞行等）三、定轴转动（本章仅讨论此情况）三、定轴转动（本章仅讨论此情况）定义：转轴固定时称为定轴转动。转动特点：刚体上各点的角位移相同（如：皮带轮
2、） ，各点的、相同。刚体上各点的)(rv 、)(2ran、一般情况下不同。rat说明：说明：v 是矢量，方向可由右手螺旋法则确定。见图 4-1。rvvvv4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量一、力矩一、力矩1 1、外力、外力Fv 在垂直于轴的平面内在垂直于轴的平面内如图 4-2：定义：1力矩： -（4-1）FrMvvv2大小：sinFrFdM（，称为力臂） ；方向：沿（）方向，sinrd Frrr它垂直于、构成的平面即与轴平行。rvFv Mv注意注意：是、间夹角。rvFv2、外力、外力不在垂直于轴的平面内不在垂直于轴的平面内Fv如图 4-3：（垂直轴）平行轴）FFFvvv(/w
3、rvrorv图 4-1orv图 4-2MrFrPd轴orv图 4-3FrP轴Fr|Fr 对转动无贡献/Fv 对转动有贡献的仅是。Fv产生的力矩即的力矩，FvFv故上面的结果仍适用。说明说明：平行轴或经过轴时 。Fv0Mv二、转动定律二、转动定律时，转动状态改变，即，那么与的关系如何？这就是转动定律的内容。0Mv0vvMv推导：如图 4-4，把刚体看成由许多质点组成的系统，这些质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。考虑第 个质点：i质量：im到轴的距离：ir受力：外力：；内力：iFrifr（设、在垂直于转轴的平面内）iFrifr在切线方向上由牛顿定律有：-（4-2）iitiititrmamfF即 -
4、 （4-3）iiiiiirmfFsinsin（4-3）: -（4-4）ir2sinsiniiiiiiiirmrfrF每一个质点都有一个这样方程，所有质点对应方程求和之后，有-（4-5） iii iiii iiiirmrfrF2sinsin可证明。0sin iiiirF合内力矩证明如下：如图 4-5，刚体内力是各质点间的相互作用力，他们是一对一对的作用力和反作用力。对i、j两质点，相互作用力的力矩之和=？设为第i个质点对ijfr第j个质点作用力，为第j个质点对第i个质点作jifr用力。与共线ijfrjifr力臂相等又 与等值反向jifrjifr与产生力矩等值反向，故与力矩合=0ijfrjifri
5、jfrjifr由此可知：刚体的所有内力矩之和两两抵消，结果为 0。0siniiiirfo图 4-4iFr轴ifriiirrim切线o图 4-5d轴irrjrrimijfrjifrjm令 i2 iiiiiirmJsinrfM-（4-6）JM 即：刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这称为转动定律。说明说明：,v与Mv 方向相同rJM 为瞬时关系rJM 转动中与平动中amFvv地位相同，Fv 是产生av的原因，Mv 是产生v的原因。rJM *比较 amFJM vvvv为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。Mv三、转动惯量三、转动惯量1、： 转动惯量=刚体中每个质点的质量与它到转轴距离平方乘
6、积的和。iiirmJ2 mmnndVdVrdmrnrmrmrm J 组成的刚体）为体积元）（由连续体为密度，（个质点组成）（刚体由2222 222 112、转动惯量的意义：转动惯性的量度。例例 4-14-1：如图 4-6，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶角上，各固定一个质量为的小球，三角形边长为 。求：ml1统对过质心且与三角形平面垂直轴 C 的转动惯量；系统对过 A 点，且平行于轴 C 的转动惯量；若 A 处质点也固定在 B 处，的结果如何？解：222333 lmlmlmJc)3(312mMMl222 32MlmlmlJA2222MlmlmlJA讨论讨论：与质量有关（见、结果）J与轴的位置
7、有关（比较、结果）J与刚体质量分布有关（比较、结果）J平行轴定理：对平行于质心轴的转动惯量=对质心轴转动惯量+刚体质量该轴与质心轴之距离平方。如：mmm ABCD图 4-6lll2 222 331 31 32 lMJMlMlMlJcA例例 4-24-2：如图 4-7，质量为m长为l的匀质杆，求：它对过质心且与杆垂直的轴 c 的转动惯量为多少？它对过一端且平行于 c 轴的 A 轴转动惯量为多少？解：如图 4-7 所取坐标，22/2/2 121mldxlmxJllc 如图 4-8 所取坐标，202 31mldxlmxJlA用平行轴定理解：222231 4121 2mllmmllmJJcA说明说明：
8、一些特殊形状的刚体转动惯量应会计算并记住。如：匀质杆、圆柱、圆盘、圆环、球等。例例 4-34-3：如图 4-9，轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮 c 连接两物体 A 和 B，A、B 质量分别为、，滑轮视AmBm为圆盘，其质量为半径为 R，AC 水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求 B 的加cm速度，AC、BC 间绳的张力大小。解：受力分析：重力，桌面支持力，绳的拉力；AmgmAv 1Nv1Tv：重力，绳的拉力；BmgmBv 2Tv：重力，轴作用力，绳作用力、cmgmcv 2Nv1Tv2Tv取物体运动方向为正，由牛顿定律及转动定律得： 2 122121RmRTRTamTgmamTc
9、BBA及，11TT 22TT Ra 解得： cBABcAcBABAcBABmmmgmmm TmmmgmmTmmmgma2121212121轴图 4-72l2lABCdmdxo xx图 4-8dmdxxoABl轴xABCmC图 4-9BmAmR图 4-10gmAvgmBv2Tv1Nv1Tv1Tv2Tv gmcvACB2Nvx讨论讨论：不计时，（即为质点情况）cm BABABABmmgmmTTmmgma21例例 4-44-4：一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一轮轴的轴上，如图 4-11。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一
10、段距离S，试求整个滑轮的转动惯量（用m，r，t和S表示）解：受力分析:TNgMTgmmvvvrv、绳作用力、轴作用力轮：重力、绳作用力重力由牛顿第二定律及转动定律得： JrTmaTmg及，TT ra 2 21atS )1S2gt(mrJ2 24-3 转动动能转动动能 力矩的功力矩的功 转动动能定理转动动能定理一、转动动能一、转动动能如图 4-13，刚体绕过 O 处轴（垂直图面）转动，角速度为，在转动中刚体各个质点都具有动能，刚体转动动能=各个质点动能之和。设各质点质量为1m，2m，3m，与轴距离为1r，2r，3r，转动动能为： 2 332 222 1121 21 21rmrmrmEk22 33
11、2 222 1121 rmrmrm222 21 21Jrmiii -（4-6）2 21JEk*比较比较： 平动转动222121mvEJEkk二、力矩的功二、力矩的功如图 4-14，刚体绕定轴转动，设作用在刚体 P 点力（可以是内力，或外力，也可以是合力或单个力） ，Fv在作用下刚体有一角位移，力的作用点的位移为Fvdorm图 4-11图 4-12NrgMvgmrTrxTr1m3m2mo1r2r3r图 4-13图 4-14Frrrrdr Po，则在该位移中作的功为：rdvFv)2cos(FdrcosFdrrdFdWvv-（4-7）MddFrFdrsinsin即 ：力矩元功=力矩角位移（力矩与角位
12、移点积）在力矩作用下，从过程中，力矩的功为21-（4-8）21MdW说明说明：常力矩功)(12 MW力矩功是力矩的空间积累效应内力矩功之和=0（与质点情况不同）力矩的功功率： MdtMd dtdWp比较比较： badMWrdFWMpvFpba vvvvvvvv转动平动三、刚体定轴转动的动能定理三、刚体定轴转动的动能定理IM ddJdtd ddJdtdJM即 dJMd做如下积分 2121dJMd可得 -（4-9）2 12 2J21J21W即：合外力矩功等于刚体转动动能增量，称此为刚体的转动动能定理。例例 4-54-5：在例 4-3 中，若 B 从静止开始下落时，h合外力矩对 c 做的功=？c 的
13、角速度=？解：由例 3 知，对 c 的合外力矩为RTRTM12R mmmgmmR mmmgmmmcBABAcBABcA21 2121 （常力矩）cBABcmmmgRmm2121RhMRSMMW12Rh mmmgRmmcBABc/ )21(2)21(2cBABcmmmghmm 0I21W22 ccBABcRm21/ m21mmghmm JA22)21(2RmmmghmcBAB例例 4-64-6：如图 4-16 所示，一轻弹簧与一匀质细杆相ml1连，弹簧倔强系数，细杆质量140mNK为。杆可绕 c 轴无摩擦转动。若当kgm3时弹簧为原长，那么细杆在的位o0o0置上至少具有多大的角速度才能转到水平位置？解：取、杆、地为系统，由题意知系统机械能守恒。K 22222 31 211215 . 00 . 15 . 121 mlmgK，。，代入得140mNKkgm3ml128 . 9smg118. 6srad注意注意：机械能守
