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1、高数公式及结论高数公式及结论9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区)0()(2acbxaxxfqp,abx2间的两端点处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若，则qpabx,2；minmaxmax( )(),( )( ),( )2bf xff xf pf qa，.qpabx,2maxmax( )( ),( )f xf pf qminmin( )( ),( )f xf pf q(2)当 a0)（1），则的周期 T=a；)()(axfxf)(xf（2），0)()(axfxf或，)0)()(1)(xfxfaxf或,1()( )f xaf x ( ( )0)f x 或,则的
2、周期 T=2a；21( )( )(),( ( )0,1 )2f xfxf xaf x)(xf(3)，则的周期 T=3a；)0)()(11)(xfaxfxf)(xf(4)且，则)()(1)()()(2121 21xfxfxfxfxxf1212( )1( ()()1,0 | 2 )f af xf xxxa的周期 T=4a；)(xf(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf xaf xa f xaf xa,则的周期 T=5a；( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f xa f xa f xa f xa)(xf(6)，则的周期 T=6a.)()()(axfxfaxf)(xf 30.
3、分数指数幂 (1)（，且）.1m n nma a0,am nN1n (2)（，且）.1m n m na a0,am nN1n 31根式的性质（1）.()nnaa（2）当为奇数时，；nnnaa当为偶数时，.n,0|,0nna aaaa a 32有理指数幂的运算性质(1) .(0, ,)rsr saaaar sQ(2) .()(0, ,)rsrsaaar sQ(3).()(0,0,)rrraba b abrQ 注： 若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算 性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式.logb aNbaN(0,1,0)aaN 34
4、.对数的换底公式 (,且,且, ).logloglogm a mNNa0a 1a 0m 1m 0N 推论 (,且,且, ).loglogmn aanbbm0a 1a ,0m n 1m 1n 0N 35对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则 (1);log ()loglogaaaMNMN(2) ;logloglogaaaMMNN(3).loglog()n aaMnM nR36.设函数,记.若的定义域为)0)(log)(2acbxaxxfmacb42)(xf,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要R0a0)(xfR0a00a 单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若,则函数0
5、a 0b 0x 1xalog ()axybx(1)当时,在和上为增函数.ab1(0,)a1(,)alog ()axybx， (2)当时,在和上为减函数.ab1(0,)a1(,)alog ()axybx推论:设，且，则1nm0p 0a 1a （1）.log()logmpmnpn（2）.2logloglog2aaamnmn38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有pxy.(1)xyNp 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系( 数列的前 n 项的和为).11,1,2n nnsnassnna12nnsaaaL40.等差数列的通项公式；* 11(1)
6、()naanddnad nN其前 n 项和公式为1() 2n nn aas1(1) 2n nnad.2 11()22dnad n41.等比数列的通项公式；1*1 1()nn naaa qqnNq其前 n 项的和公式为11(1),11 ,1nnaqqsqna q 或.11,11 ,1nnaa qqqs na q 42.等比差数列:的通项公式为 na11,(0)nnaqad ab q；1(1) ,1(),11nn nbnd q abqdb qdqq 其前 n 项和公式为.(1) ,(1)1(),(1)111n nnbn ndq sdqdbn qqqq 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款元(贷款元
7、,次还清,每期利率为).(1) (1)1nnabbxbanb44常见三角不等式（1）若，则.(0,)2xsintanxxx(2) 若，则.(0,)2x1sincos2xx(3) .|sin|cos| 1xx 45.同角三角函数的基本关系式 ，=，.22sincos1tan cossintan1cot46.正弦、余弦的诱导公式21 2( 1) sin ,sin()2( 1)s ,nnnco 21 2( 1)s ,s()2( 1)sin,nnconco 47.和角与差角公式;sin()sincoscossin;cos()coscossinsinm.tantantan()1tantanm(平方正弦公
8、式);22sin()sin()sinsin.22cos()cos()cossin=(辅助角所在象限由点的象限决定,sincosab22sin()ab( , )a b).tanb a(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)48.二倍角公式 .sin2sincos.2222cos2cossin2cos11 2sin .22tantan21tan 49. 三倍角公式 .3sin33sin4sin4sinsin()sin()33.3cos34cos3cos4coscos()cos()33.323tantantan3tantan()tan()1 3tan3350.三角函数的周期公式 函数
9、，xR 及函数，xR(A,为常数，且sin()yxcos()yxA0，0)的周期；函数，(A,为常数，2T tan()yx,2xkkZ且 A0，0)的周期.T 51.正弦定理 .2sinsinsinabcRABC52.余弦定理;2222cosabcbcA;2222cosbcacaB.2222coscababC 53.面积定理（1）（分别表示 a、b、c 边上的高）.111 222abcSahbhchabchhh、（2）.111sinsinsin222SabCbcAcaB(3).221(| |)()2OABSOAOBOA OBuu u ruuu ruu u r uuu r54.三角形内角和定理
10、在ABC 中，有()ABCCAB.222CAB222()CAB55. 简单的三角方程的通解.sin( 1) arcsin (,| 1)kxaxka kZa .s2arccos (,| 1)co xaxka kZa.tanarctan (,)xaxka kZ aR 特别地,有.sinsin( 1)()kkkZ .scos2()cokkZ.tantan()kkZ 56.最简单的三角不等式及其解集.sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ.sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ.cos(| 1)(2arccos ,2a
11、rccos ),xa axkaka kZ.cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkaka kZ.tan()(arctan ,),2xa aRxka kkZ.tan()(,arctan ),2xa aRxkka kZ57.实数与向量的积的运算律 设 、 为实数，那么 (1) 结合律：(a a)=()a a; (2)第一分配律：(+)a a=a a+a;a; (3)第二分配律：(a a+b b)=a a+b b. 58.向量的数量积的运算律： (1) a ab=b= b ba a （交换律）; (2)（a a）b=b= （a ab b）= =a ab b= a a（b
12、 b）; (3)（a a+b+b）c=c= a a c c +b+bc.c. 59.平面向量基本定理 如果 e e1 1、e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只有一对实数 1、2，使得 a=a=1e e1+ +2e e2 不共线的向量 e e1、e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 60向量平行的坐标表示 设 a a=,b b=，且 b b0 0，则 a a b(bb(b0)0).11( ,)x y22(,)xyP12210x yx y53. a a与 b b 的数量积(或内积) a ab b=|a a|b b|cos61. ab 的几何
13、意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a a=,b b=，则 a+b=a+b=.11( ,)x y22(,)xy1212(,)xxyy(2)设 a a=,b b=，则 a-b=a-b=. 11( ,)x y22(,)xy1212(,)xxyy(3)设 A，B,则.11( ,)x y22(,)xy2121(,)ABOBOAxx yyuuu ruuu ruu u r(4)设 a a=，则a=a=. .( , ),x yR(,)xy(5)设 a a=,b b=，则 a ab=b=.11( ,)x y22(,)
14、xy1212()x xy y63.两向量的夹角公式公式(a a=,b b=).12122222 1122cosx xy yxyxy 11( ,)x y22(,)xy64.平面两点间的距离公式=,A Bd|ABAB ABuuu ruuu r uuu r(A，B).22 2121()()xxyy11( ,)x y22(,)xy65.向量的平行与垂直 设 a a=,b b=，且 b b0 0，则11( ,)x y22(,)xyA A|b bb b=a a .12210x yx ya ab(ab(a0)0)a ab=b=0.12120x xy y66.线段的定比分公式 设，是线段的分点,是实数，且，11
