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1、21第一讲：相似三角形的判定及有关性质 第 6 课时：直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理 编写：李子仁【学习目标学习目标】 1.1.利用直角三角形相似的判定和性质推导射影定理利用直角三角形相似的判定和性质推导射影定理。 2.2.灵活运用射影定理进行相关计算与证明灵活运用射影定理进行相关计算与证明。【知识线索知识线索】 直角三角形的射影定理：直角三角形的射影定理： 直角三角形一条直角边的平方等于直角三角形一条直角边的平方等于 ， 斜边上的高等于斜边上的高等于 【知识建构知识建构】 1.正射影（射影）的定义正射影（射影）的定义 （1） 点在直线上的正射影点在直线上的正射影 正射影的定义：正射
2、影的定义：特别地，当一个点在这条直线上时，它的正射影就是它本身特别地，当一个点在这条直线上时，它的正射影就是它本身（2） 线段在直线上的正射影线段在直线上的正射影2.直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理 如图，如图，CD 是直角三角形是直角三角形 ABC 的斜边上的高，的斜边上的高，AC 在在 斜边上的射影是斜边上的射影是 BC 在斜边的射影是在斜边的射影是 想一想，能出现几对相似三角形？想一想，能出现几对相似三角形？ 你能从射影的角度来考察它们的关系，发现这些线段之间的某些关系？你能从射影的角度来考察它们的关系，发现这些线段之间的某些关系？从相似三角形出发得出射影定理：从相似三角形出发得
3、出射影定理： 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的；两条直角边分别；两条直角边分别 是它们在斜边上射影与是它们在斜边上射影与 的比例中项。的比例中项。课时目标呈现课中师生互动课前自主预习新知导学目标导航高二数学选修 4-4四环节导思教学导学案高二数学选修 4-1四环节导思教学导学案A1 1B1ABBCDAAA122【典例透析典例透析】 例例 1.如图，圆如图，圆 O 上一点上一点 C 在直径在直径 AB 上的射影为上的射影为 D，AD=2，DB=8，求，求 CD，AC，和，和 BC 的长。的长。例例 2.2.如图所示，在如图所示，在ABC
4、ABC 中，中，CAB=90CAB=90，ADBCADBC 于于 D D，BEBE 是是ABCABC 的平分线，的平分线，交交 ADAD 于于 F F，求证：，求证：。ECAE AFDF例例 3.3.已知如图，在矩形已知如图，在矩形 ABCDABCD 中，中，AB:BC=5:6,AB:BC=5:6,点点 E E 在在 BCBC 上，点上，点 F F 在在 CDCD 上，且上，且 EC=EC=BCBC，FC=FC=CDCD，FGAEFGAE 于于 G G。 求证：求证：AG=4GEAG=4GE61 53【随堂检测随堂检测】A ODCB231 1如图如图 1 14 41 1 中，中，ACB=90A
5、CB=90，CDABCDAB 于于 D D，AD=3AD=3，BD=2BD=2，则，则 ACAC：BCBC 的值是的值是( ( ) ) A A3 3：2 2 B B9 9：4 4 C C： D D：32232在在ABC 中，中，ACB=90，CDAB 于于 D，AD：BD=2：3，则，则ACD 与与 CBD 的相似比为的相似比为( )A2：3 B4：9 C：3 D不确定不确定63RtABC 中，中，ACBC，CDAB 于点于点 D，AD=4，sinACD=，则，则54BC=_，CD=_。4.4.如图，如图，ABCABC 中，顶点中，顶点 C C 在在 ABAB 边上的射影为边上的射影为 D D
6、，且，且。BDADCD2求证：求证：ABCABC 是直角三角形。是直角三角形。【课堂小结课堂小结】 1.1.在直角在直角 ABCABC 中中,CD,CD 为斜边为斜边 ABAB 上的高上的高, ,图中共有图中共有 6 6 条线段条线段 AC,BC,CD,AD,DB,ABAC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条已知任意两条, ,便可求出其余四条。便可求出其余四条。 2 2射影定理中每个乘积式中射影定理中每个乘积式中, ,含三条线段含三条线段, ,若已知两条可求第三条。若已知两条可求第三条。 3 3射影定理只能用在射影定理只能用在直角三角形直角三角形中中, ,且必须有且必须有斜边上的高。斜
7、边上的高。A1.A1.在在ABCABC 中，中，C=90C=90，CDCD 是斜边是斜边 ABAB 上的高。已知上的高。已知 CD=60CD=60，AD=25AD=25， 则则 BD=_BD=_，AB=_AB=_，AC=_AC=_，BC=_.BC=_.A2.A2.如图所示，圆如图所示，圆 O O 上一点上一点 C C 在直径在直径 ABAB 上的射影为上的射影为 D D，CD=4CD=4，BD=8BD=8， 则圆则圆 O O 的半径等于的半径等于_课后训练提升达标导练BACDODCAB24A3.A3.一直角三角形的两条直角边之比是一直角三角形的两条直角边之比是 1313，则它们在斜边上的射影的比是，则它们在斜边上的射影的比是 _ B4.B4.如图，如图，ABCABC 中中BAC=60CDABBAC=60CDAB求证：求证：BD=AB-BD=AB-ACAC21B5.B5.如图，在如图，在ABCABC 中，中，CDABCDAB 于于 D D，DFACDFAC 于于 F F，DGBEDGBE 于于 G G。 求证：求证：CFCF ACAC = = CGCG BCBCC6.在在ABC 中，中，CDAB 于于 D，DEAC 于于 E，DFBC 于于 F， 求证：求证：CEFCBA【纠错纠错感悟感悟】ACB D60FEDCBA
