《2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.6》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.6（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.6 对数与对数函数对数与对数函数1 对数的概念如果 abN(a0 且 a1)，那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 blogaN，其中_a_叫作对数的底数，_N_叫作真数2 对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；MNlogaMnnlogaM (nR)；logamMn logaM.nm(2)对数的性质alogaN_N_；logaaN_N_(a0 且 a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b0，a，b1，N0)；logaNlogablogab，推广 logabl
2、ogbclogcdlogad.1logba3 对数函数的定义我们把函数 ylogax(a0，a1)叫作对数函数，函数定义域为(0，)4对数函数的图像与性质a101 时，y0(5)当 x1 时，y0(6)是(0，)上的增函数(7)是(0，)上的减函数5 反函数指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数，它们的图像关于直线_yx_对称1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若 log2(log3x)log3(log2y)0，则 xy5.( )(2)2log510log50.255.( )(3)已知函数 f(x)lg x，若 f(ab)1，则 f(a2)f(b2)2.( )
3、(4)log2x22log2x.( )(5)当 x1 时，logax0.( )(6)当 x1 时，若 logaxlogbx，则 aba BbcaCacb Dabc答案 D解析 alog361log321，1log23blog5101log521，1log25clog7141log721，1log27显然 abc.3 (2013浙江)已知 x，y 为正实数，则( )A2lg xlg y2lg x2lg yB2lg(xy)2lg x2lg yC2lg xlg y2lg x2lg yD2lg(xy)2lg x2lg y答案 D解析 2lg x2lg y2lg xlg y2lg(xy)故选 D.4 函
4、数 f(x)log5(2x1)的单调增区间是_答案 ( ，)12解析 函数 f(x)的定义域为( ，)，12令 t2x1(t0)因为 ylog5t 在 t(0，)上为增函数，t2x1 在( ，)上为增函数，12所以函数 ylog5(2x1)的单调增区间是( ，)125 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在0，)上为增函数，f0，则不等式(13)f(log x)0 的解集为_81答案 (2，)(0，12)解析 f(x)是 R 上的偶函数，它的图像关于 y 轴对称f(x)在0，)上为增函数，f(x)在(，0上为减函数，由 f0，得 f0.(13)(13)f(log x)0log x81 8
5、1138113x2 或 04，所以 f(3log23)( ) ( )123log3218123log2 .1813124题型二 对数函数的图像和性质例 2 (1)函数 y2log4(1x)的图像大致是( )(2)已知 f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，则 a，b，c 的大小关系是21( )Ac2log49，(15)535125532又 f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故 f(x)在0，)上是单调递减的，f(0.20.6)0 且 a1)的图像过两点(1，0)和(0,1)，则a_，b_.答案
6、 (1)A (2)2 2解析 (1)b0.820.80 且 a1，设 t(x)3ax，则 t(x)3ax 为减函数，x0,2时，t(x)最小值为 32a，当 x0,2时，f(x)恒有意义，即 x0,2时，3ax0 恒成立32a0.a0 且 a1，a(0,1).(1，32)(2)t(x)3ax，a0，函数 t(x)为减函数，f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat 为增函数，a1，x1,2时，t(x)最小值为 32a，f(x)最大值为 f(1)loga(3a)，Error!Error!，即Error!Error!，故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为
7、 1.思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是 a(0,1)，还是 a(1，)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误已知 f(x)log4(4x1)(1)求 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的单调性；(3)求 f(x)在区间 ，2上的值域12解 (1)由 4x10，解得 x0，因此 f(x)的定义域为(0，)(2)设 0bc Babc BbacCacb Dcab(3)已知函数 yf(x)的图像关于 y 轴对称，且当
8、x(，0)时，f(x)xf(x)ac BcabCcba Dacb思维启迪 (1)利用幂函数 yx0.5和对数函数 ylog0.3x 的单调性，结合中间值比较 a，b，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较 log23.4、log43.6、log30.3log3的大小即可，可以利103用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数 (x)xf(x)的单调性，再根据 20.2，log3，log39 的大小关系求解解析 (1)根据幂函数 yx0.5的单调性，可得 0.30.5log0.30.31，即 c1.所以 blog3log43.6.103方法二 log3log331，且1，103log43
9、.6log3log43.6.103由于 y5x为增函数，555.4 . 3log2310log36 . 3log4即 5( ) 5，故 acb.4 . 3log2 153 . 0log36 . 3log4(3)因为函数 yf(x)关于 y 轴对称，所以函数 yxf(x)为奇函数因为xf(x)f(x)xf(x)，且当 x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)ac，选 A.答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若
10、底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选 0 或 1.方法与技巧1 对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于 0 的，所以对数函数 ylogax 的定义域应为x|x0对数函数的单调性和 a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 01 进行分类讨论2 比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性3 多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过图像与直线 y1 交点的横坐标进行判定失误与防范1 在运算性质 logaMlogaM 中，要特别注意条件，在无 M0 的条件下应为logaMloga|M|(N，且 为偶数)2 指数函数 yax
11、(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别3 解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)一、选择题1 函数 y的定义域是( )2xlg xAx|0ln e，x1.ylog52 ， f(a)，则实数 a 的取值范围是( )A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)答案 C解析 f(a)f(a) Error!Error!或Error!Error!Error!Error!或Error!
12、Error!a1 或10，且 a1，uax3 为增函数，若函数 f(x)为增函数，则 f(x)logau 必为增函数，因此 a1.又 yax3 在1,3上恒为正，a30，即 a3，故选 D.二、填空题6 计算(lg lg 25)100_.1421答案 20解析 (lg lg 25)100(lg )1011421110021020.7 已知函数 f(x)Error!Error!则使函数 f(x)的图像位于直线 y1 上方的 x 的取值范围 是_答案 x|12解析 当 x0 时，3x11x10，10 时，log2x1x2，x2.综上所述，x 的取值范围为12.8 若 log2a1 时，log2a0
13、，1a21.1a0，1a21a，1a21aa2a0，a1，此时不合题意综上所述，a.(12，1)三、解答题9 已知函数 f(x)loga(x1)loga(1x)，a0 且 a1.(1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当 a1 时，求使 f(x)0 的 x 的解集解 (1)要使函数 f(x)有意义则Error!Error!解得11 时，f(x)在定义域x|101，解得 00 的 x 的解集是x|00，且 a1)的最大值是 1，最小值是12 ，求 a 的值18解 由题意知 f(x) (logax1)(logax2)12 (log x3logax2) (logax
14、 )2 .122 a123218当 f(x)取最小值 时，logax .1832又x2,8，a(0,1)f(x)是关于 logax 的二次函数，函数 f(x)的最大值必在 x2 或 x8 时取得若 (loga2 )2 1，则 a2，12321831此时 f(x)取得最小值时，x(2 )13232,8，舍去2若 (loga8 )2 1，则 a ，12321812此时 f(x)取得最小值时，x( )22,8，符合题意，a .1223212B 组 专项能力提升(时间：30 分钟)1 设 f(x)lg是奇函数，则使 f(x)| 1| 1|，1312f( )0，且 a1)，若 f(x1x2x2 015)8，则 f(x )f(x )f(x)2 12 222 015_.答案 16解析 f(x1x2x2 015)loga(x1x2x2 015)8，f(x )f(x )f(x)2 12 22
