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1、【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教学内容： 排列、组合、二项式定理章节复习二. 本周教学重、难点： 1. 分类计数原理、分步计数原理 2. （1）排列 （2）排列数公式 3. （1）组合 （2）组合数公式 （3）组合数性质 4. 二项式定理（1） （2） （3）二项式系数的性质 【典型例题典型例题】例 1 某同学有若干本课外参考书，其中外语 5 本，数学 6 本，物理 2 本，化学 3 本，他 欲带参考书到图书馆看书。（1）若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？ （2）若外语、数学、物理和化学参考书各带一本，有多少种不同的带法？（3）若从这些 参考书中选 2 本不同学科的参
2、考书带到图书馆，有多少种带法？ 解：解：（1）要完成的事是“带一本参考书”，由于无论带哪一学科的任何一本参考书都完成了这件事，因此是分类问题，应用加法原理得（种）不同的带法； （2）要完成的事是“外语、数学、物理和化学参考书各带一本”，因此，选一种学科中的 一本书只完成了这件事的一部分，只有几种学科的书都选定了以后，才完成这件事，因此是分步计数问题，应用乘法原理，有（种）不同的带法；（3）要完成 的事是“带 2 本不同学科的参考书”，因此要分情况考虑，即先考虑是带哪两个学科的书， 如带外语、数学各一本，则选一本外语书或选一本数学书都只完成了这一件事的一部分，因此要用乘法原理，即有种选法。同样地
3、，若选外语、物理各一本，有 种选法。选外语、化学各一本有种选法从而上述每种选法都完成 了这件事。因此这些选法种数之间还应运用加法原理，共有（种）不同的带法。例 2 7 名师生站成一排照相留念，其中老师 1 人，男学生 4 人，女学生 2 人，在下列情况 下，各有多少种不同站法？（1）两名女生必须相邻而站；（2）4 名男生互不相邻；（3） 若 4 名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端。解：解：（1）2 名女生站在一起有站法种，视为一种元素与其余 5 人全排，有种排法，所以有不同站法（种）；（2）先站老师和女生，有站法种，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插入男
4、生，每空一人，则插入方法种，所以共有不同站法（种）；（3）7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同，所以共有不同站法（种） ；（4）中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解： 老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有种站法； 两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外 4 个位置之一，有种站法，所以共有不同站法（种）。 点拨：点拨：（1）要求某些元素相邻，可用“捆绑法”；（2）要求某些元素不相邻，可用 “插入法”，某些元素顺序一定也可以采用“插入法”，譬如（3）中可先排两名女生和老师有种方法，然后将 4 名男生插入所形成的四个空格中有两种插入法，于是共有
5、站法（种）。例 3 用 0，1，2，9 十个数字可组成多少个满足以下条件的没有重复数字的：（1） 五位奇数；（2）大于 30000 的五位偶数？ 解：解：（1）要得到五位奇数，末位应从 1，3，5，7，9 五个数字中取，有 5 种取法， 取定末位数字后，首位就有除这个数字和 0 之外的 8 种不同取法。首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位，百位与千位三个数位选取，共有种不同的安排方法。因此由分步计数原理共有个没有重复数字的五位奇数；（2）要得偶数， 末位应从 0，2，4，6，8 中选取，而要得比 30000 大的五位偶数，可分两类： 末位数字 从 0，2 中选取，则首位可取 3、
6、4、5、6、7、8、9 中任一个，共 7 种选取方法，其余三个数位就有除首末两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共种取法。所以共有种不同情况。 末位数字从 4，6，8 中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9 中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有种选法，所以共有种不同情况。由分类计数原理，共有（个）比 30000 大的无重复数字的五位偶数。例 4 将个不同的小球放入个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放 法？解：解：先将个球排成一排，共有种排法，再在它们之间插入隔板，以表示 它们放入不同的盒子中，由于不能出现空盒，因此，必须用块隔板分别插在它们两两 之间的个间隔中
7、的个之中，故有种不同的插法。又因为放入同一个盒子的两个球无顺序之分，所以一共有（种）不同的放法。例 5 要从 12 人中选出 5 人参加一项活动，按下列要求，有多少种不同的选法？（1） A、B、C 三人必须入选；（2）A、B、C 三人不能入选；（3）A、B、C 三人只有一人入 选；（4）A、B、C 三人至少一人入选；（5）A、B、C 三人至多两人入选。解：解：（1）只需再从 A、B、C 之外的 9 人中选择 2 人，所以有（种）不同选 法；（2）由于 A、B、C 三人都不能入选，所以只能从余下的 9 人中选择 5 人，即有（种）选法；（3）可分两步：先从 A、B、C 三人中选出一人，有种选法，
8、再从其余的 9 人选择 4 人，有种选法。所以，共有（种）选法； （4）直接法，可分三类： A、B、C 三人只选一人，则还需从其余 9 人中选择 4 人，有选法； A、B、C 三人中选择二人，则还需从其余 9 人中选择 3 人，有（种）选法； A、B、C 三人都入选，则只需从余下的 9 人中选择 2 人，有（种）选法。由分类计数原理，共有（种）不同选 法。间接法：先从 12 人中任选 5 人，再减去 A、B、C 三人都不入选的情况，共有（种）选法；（5）直接法，可分三类： A、B、C 三人均不入选，有种选法。 A、B、C 人中选一人，有种选法。 A、B、C 三人中选二人，有种选法。由分类计数原
9、理，共有（种）选法。间接法：先从 12 人中任选 5 人，再减去 A、B、C 三人均入选的情况，即（种） 选法。例 6 用 0，1，2，3，9 这十数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数 字的五位数有多少个？解法一：解法一：考虑 0 的特殊要求，如果对 0 不加限制，应有种，其中 0 居首位的有种。故符合条件的五位数共有（个）。 解法二：解法二：按元素分类，奇数字有 1，3，5，7，9；偶数字有 0，2，4，6，8。把从五 个偶数中任取两个的组合分成两类： 不含 0 的； 含 0 的。 不含 0 的，由三个奇数数字和两个偶数数字组成的五位数有个。 含 0 的，这时 0 只能排在除首位
10、以外的四个数位上，有种排法，再选三个奇数数字与一个偶数数字放在其他数位上，共有种排法。综合和，由分类计数原理，符合条件的五位数共有（个）。例 7 （1）求二项式的展开式中的常数项；（2）求展开式中 的有理项。 解：解：（1）设第项为常数项，则。令，所以。所以第 9 项为常数项，其值为；（2）展开式中的有理项，就是通项公式中的指数为整数的项，因为。令，即且，所以或 9。当时，；当时，。所以的展开式中的有理项为：第 4 项，；第 10 项，。例 8 已知。（1）若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数 列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数
11、和等于 79，求展开式中系数最大的项。解：解：（1）因为，所以。因为或，当时，展开式中二项式系数最大的项是和。所以的系数，的系数。当时，展开式中二项式系数最大的项是。所以的系数；（2）因为，所以或（舍去）。设项的系数最大。因为，。所以，又因为且，所以。所以展开式中系数最大的项为。例 9 求和：。 解：解：原式【模拟试题模拟试题】（答题时间：60 分钟）一. 选择题 1. 四对夫妻坐一排照相，每对夫妻都不能隔开坐，则不同的坐法种数为（ ）A. 24 B. 16 C. 384 D. 1152 2. 要排一个有 5 个独唱节目和 3 个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何 两个舞蹈节目不连
12、排，则不同的排法种数是（ ）A. B. C. D. 3. 五名旅客在 3 家旅店投宿的方法有（ ）A. 种 B. 种 C. 15 种 D. 8 种4. 等于（ ） A. 99 B. 4104 C. 8109 D. 8856 5. 95 件产品中有 5 件是次品，从中取 4 件，至少有 3 件次品的取法有（ ）种。A. B. C. D. 6. 把 4 个互不相同的小球平均分成两份，则分法总数为（ ）A. 12 B. 6 C. 4 D. 37. 设，则的反函数等于（ ）A. B. C. D. 8. 精确到的近似值为（ ）A. B. C. D. 二. 解答题1. 求的展开式中含的项。 2. 把 4
13、个男同志和 4 个女同志均分成 4 组，到 4 辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样 两人在不同汽车上服务算作不同情况。 （1）有几种不同的分配方法？ （2）每个小组必须是一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？ （3）男同志和女同志分别分组，有几种不同的分配方法？3. 解不等式： 4. 某年级开设语文、政治、外语、体育、数学、物理、化学七门课程，依下列条件课程 表有多少种不同排法？（1）一天开设七门不同课程，其中体育不排在第一节也不排在第七节；（2）一天开设 四门不同课程，其中体育不排在第一节也不排在第四节。【试题答案试题答案】一. 选择题1. C 2. C 3. B 4. B 5. D
14、 6. D 7. A 8. D二. 解答题1. 解： 而的通项为的通项为 的通项为令且， 或或或或或 2. 解：（1）男女合在一起共有 8 人，每辆车上 2 人，可以分四个步骤完成，先安排 2人上第一辆车，共有种，再上第二辆车共有种，再上第三辆车共有种，最后上第四辆车共有种。这样不同的分配方法，按分步计数原理，有（种）。（2）要求男女各 1 人，因此先把男同志安排上车，共有种不同方法。同理，女同志也有种方法，由分步计数原理，有种。（3）男女分别分组，4 个男的平分成两组共有种，4 个女的分成两组也有3 种，这样分组方法就有种，因而不同的分配方法为种。3. 解：原不等式可化为，即，所以。所以，又，所以且为整数。所以原不等式的解集为。 4. （1）解法一：从元素考虑，先满足体育后再安排其他课程，从 26 节中任取一节排体育有种排法，再从剩下的 6 节课中排其他课程有种排法，依分步计数原理，有（种）。解法二：从位置考虑，从体育外的六门课程中任取两门课排第一节及第七节有种排法，再从剩下的 5 门课程（含体育）排其他节有种排法，依分步计数原理有3600（种）。解法三（间接法）：（种）（2）解法一：从元素考虑，排体育课有种，不排体育课有种，依分类计数原理，有（种） 。解法二：从位置考虑，先排第一、四节，再排中间两节，依分步计数原理，有（种）。解法三（间接法）：（种）
