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1、6 6 无条件极值无条件极值教学目的与要求：教学目的与要求： (1) 能够根据二元函数的极值的必要条件与能够根据二元函数的极值的必要条件与 充分条件寻找二元函数的极值与最大充分条件寻找二元函数的极值与最大(小小)值值 (2) 掌握二元函数的极值的必要条件掌握二元函数的极值的必要条件 充分条件定理的证明充分条件定理的证明 教学重点，难点：教学重点，难点： 重点：二元函数的极值的必要条件与充分条件重点：二元函数的极值的必要条件与充分条件 难点：判别二元函数的极值问题难点：判别二元函数的极值问题oxyab)(xfy = =1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x一、极值问题一、极值问题定义定义
2、若函数若函数则称函数在该点取得极大值则称函数在该点取得极大值( (极小值极小值). ).极大值和极小值统称为极值极大值和极小值统称为极值, ,使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .的某邻域内有的某邻域内有注意：函数的极值点只可能是定义域的内点注意：函数的极值点只可能是定义域的内点. .xyz在点在点 (0,0) 有极小值有极小值;在点在点 (0,0) 有极大值有极大值;在点在点 (0,0) 无极值无极值.xyzxyz1yozx1z=xy.定理定理12.6.1 (必要条件必要条件) 函数函数 存在偏导数存在偏导数,取得极值取得极值, ,取得极值，取得极值，且在该点取得极值
3、且在该点取得极值 , ,则有则有故故所以所以0000(,)0 ,(,)0xyfxyfxy=00(,)0 ,xfxy= =若若例如例如, ,取得极值，取得极值，稳定点不一定是极值点稳定点不一定是极值点. .有驻点有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值但在该点不取极值. .则称则称 ( x0, y0) 为为 f 的稳定点或驻点的稳定点或驻点 .所以所以00(,)0 .yfxy= =0000(,)0 ,(,)0xyfxyfxy=在原点在原点(0,0)没有偏导数，但它在原点有极小值没有偏导数，但它在原点有极小值;所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数不存在的点
4、取得不存在的点取得. .定理定理3(第二充分条件第二充分条件)设设)(xf0x在在处具有二阶导数处具有二阶导数, 且且, 0)(0= xf则则(1)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf0x在在处取得极小值处取得极小值. ., 0)(0 xf定理定理12.6.2 (充分条件充分条件)的某邻域内具有二阶连续偏导数的某邻域内具有二阶连续偏导数, , 若函数若函数),(yxfz = =0),(,0),(0000=yxfyxfyx00(,)xy在点在点且且1)0000(,)(,)f xx yyf xy+=+=222 0000001(,)2(,)(,)(1)2xxxyyyfxyfxyfxyo=+
5、=+2)若二次型正定，则在该点取得极小值若二次型正定，则在该点取得极小值若二次型负定，则在该点取得极大值若二次型负定，则在该点取得极大值若二次型不定，则在该点非极大、极小值若二次型不定，则在该点非极大、极小值22 000000(,)2(,)(,)xxxyyyfxyfxyfxy+时时, , 具有极值具有极值定理定理12.6.2 (充分条件充分条件)的某邻域内具有二阶连续偏导数的某邻域内具有二阶连续偏导数, , 令令则则: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值. 2) 当当3) 当当时时, , 没有极值没有极值. .时时, ,不能确定不能确定, ,需另行讨论需另行讨论. .若函数若函数),(yxf
6、z = =0),(,0),(0000=yxfyxfyx000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy=00(,)xy在点在点且且20ACB20ACB A故故 f 在在( 1, 0 ) 有极值有极值, 又因又因在点在点( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值. .,66),(+=+=xyxfxx,0),(= =yxfyx66),(+=+=yyxfyy在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;故故 f 在在( -3, 2 ) 有极值有极值,又因又因212 ( 6)0,ACB= = 0,A=定理定理12.6.3的某邻域内具有二阶连
7、续偏导数的某邻域内具有二阶连续偏导数, , 那么二次型那么二次型若若n元函数元函数( )f x 00()xf x 为的驻点， 为的驻点，10 ,1( )() jnx xij i jgfx = = = 000 012(,)nxxxx= 在点= 在点且且正定时，正定时，0()f x 为极小值； 为极小值；负定时，负定时，0()f x 为极大值； 为极大值；不定时，不定时，0()f x 不是极值； 不是极值；若若det0(1,2, )( )kAkng= 正定= 正定推论推论12.6.10()f x 为极小值； 为极小值；若若( 1) det0( )kkAg 负定 负定0()f x 为极大值； 为极大
8、值；例例3讨论它的极值讨论它的极值120(0,0,0) nxxxfff=令=令(0,0,0)2,1,2, . iix xfin= = =222 12 12(,),nxxx nf xxxe= =设设(0,0,0)0, ,1,2, . ijx xfi jn ij=200 0202,002kkAI = = 解解( 1) det20(1,2, ),kkkAkn = = 最大值最小值（简称最值）问题最大值最小值（简称最值）问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值最值可疑点最值可疑点稳定点、偏导数不存在的点稳定点、偏导数不存在的点边界上的最值点边界上的最
9、值点特别特别,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且只有一个极值点且只有一个极值点P 时时,)(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值依据依据(大大)(大大)例例4 4求函数求函数yxyxyxf22),(2+=+=在矩形域在矩形域 20 , 30| ),(=yxyxD 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. . 解解先求函数先求函数),(yxf在在D内驻点内驻点. . 由由 , 022=yxfx022=+=+=xfy 求得求得fD在在内部的唯一驻点内部的唯一驻点 (1, 1), 且且. 1)1, 1(= =f 其次求函数其次求函数),(yxf如图所示如图所示. .在在 D的边界上的
10、最大值的边界上的最大值 和最小值和最小值.区域区域D的边界包含四的边界包含四 条直线段条直线段.,4321LLLL(0,2)xy(3,2)(0,0)(3,0)4L3L2L1LD在在1L, 0= =y上上,)0,(2xxf= =. 30 xx这是这是的单调增加函数的单调增加函数, ,1L故在故在上上f的最大值为的最大值为, 9)0, 3(= =f最小值为最小值为. 0)0 , 0(= =f例例4 4求函数求函数yxyxyxf22),(2+=+=在矩形域在矩形域 20 , 30| ),(=yxyxD 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .解解(0,2)xy(3,2)(0,0)(3,0)4L3L
11、2L1LD同样在同样在2L4L和和上上f也是单调的一元函数也是单调的一元函数, ,易得最易得最大值、最小值分别为大值、最小值分别为, 9)0, 3(= =f1)2, 3(= =f, 4)2, 0(= =f0)0, 0(= =f. 30 x2L(在在上上),4L(在在上上),例例4 4求函数求函数yxyxyxf22),(2+=+=在矩形域在矩形域 20 , 30| ),(=yxyxD 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .解解而在而在3L上上, 2= =y, 44)2,(2+=+=xxxf, 30 x易求出易求出f3L在在上的上的最小值最小值. 0)2, 2(= =f, 4)2, 0(= =
12、f最大值最大值先求先求),(yxf在在内的极值内的极值. .D由由 ,36),(2xxyxfx=,6),(yyxfy=解方程组解方程组 =060362yxx得驻点得驻点(0, 0), , (2, 0). . 由于由于, 6)0, 0(= = xxf, 0)0, 0(= = xyf, 6)0, 0(= = yyf, 6)0, 2(= = xxf, 0)0, 2(= = xyf. 6)0, 2(= = yyf所以所以, , 在点在点 (0, 0) 处处, 0362=A 故在故在 (0, 0) 处有极小值处有极小值. 0)0, 0(= =f例例5 5求函数求函数32233),(xyxyxf+=+=在
13、区域在区域 16:22+ yxD上的最小值上的最小值. . 解解在点在点 (2, 0) 处处, 0362= ACB故函数在点故函数在点 (2, 0)处无极值处无极值.再求再求),(yxf在边界在边界1622=+=+ yx上的最小值上的最小值. 由于点由于点),(yx在圆周在圆周1622=+=+ yx上变化上变化,例例5 5求函数求函数32233),(xyxyxf+=+=在区域在区域 16:22+ yxD上的最小值上的最小值. . 解解出出代入代入),(yxf中中, , 有有),(yxf= =32233xyx+=+=348x=),44(x故可解故可解),44(1622 = =xxy z这时这时z
14、是是x的一元函数的一元函数, , .164= = =xz函数函数32233),(xyxyxf+=+=在闭区间在闭区间D上的最小值上的最小值.16)0, 4(= =f求得在求得在上的最小值上的最小值4, 4 例例6 6 方体水箱方体水箱. . 问当长、宽、高各取怎样的问当长、宽、高各取怎样的尺寸时尺寸时, 能使用料最省能使用料最省. 解解宽为宽为,my设水箱的长为设水箱的长为,mx 此水箱所用材料的面积此水箱所用材料的面积A+=+=xyxxyyxy222+=+=yxxy222).0, 0(yx 此为目标函数此为目标函数. . 下面求使这函数取得最小值的点下面求使这函数取得最小值的点 ).,(yx令令, 0222=xyAx. 0222= = =yxAy则其高应为则其高应为/2m.xy某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为2m 的有盖长的有盖长3才才例例6 6 方体水箱方体水箱. . 问当长、宽、高各取怎样的问当长、宽、高各取怎样的尺寸时尺寸时, 能使用料最省能使用料最省.解解令令, 0222=xyAx. 0222= = =yxAy某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用
