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1、解三角形解三角形知识点一：正弦定理：知识点一：正弦定理：2sinsinsinabcRABC证法证法 1： 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高、，则，ADBECFsinADcB，所以，每项sinBEaCsinCFbA111sinsinsin222ABCSabCacBbcA同除以即得：1 2abcsinsinsinabc ABC例题讲解：例题讲解：: 例 1在中，求，ABC30A 105C 10a bc例 2根据下列条件解三角形：（1）；3,60 ,1bBc（2）6,45 ,2cAa说明：说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他
2、边和角的问题 ：在中，求和ABC30a 26b 30A c,B C说明：说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题 2练习： （1）在中，已知，则 ， ABC8bc30B45Cb c （2）在中，如果，那么 ，的ABC30A120B12b a ABC 面积是 （3）在中，则 ABC30bc 1532ABCSA知识点二：知识点二： 1余弦定理也可以写成如下形式：， ， bcacbA2cos222acbcaB2cos222accbaC2cos2222 余弦定理的证明：3.例题讲解： 例 1在中，ABC（1）已知，求；3b 1c 060
3、A a（2）已知，求（精确到） 4a 5b 6cA00.1例 2 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得,A BC182 ,CAm126 ,CBm，求两地之间的距离（精确到） 063ACB,A B1m练习：用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，ABCC222abcC222abc例 3 在中，已知，试判断该三角形的形状ABCsin2sincosABC例 4如图，是中边上的中线，求证：AMABCBC22212()2AMABACBC4余弦定理的应用范围： 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三
4、边和其他两个角）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 知识点三知识点三 ：正余弦定理的应用：正余弦定理的应用 1.正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：；RCc Bb Aa2sinsinsinBacCabAbcSABCsin21sin21sin21（2）正弦定理的变形： ；CRcBRbARasin2,sin2,sin2；RcCRbBRaA2sin,2sin,2sinsinsinsin: :ABCa b c（3）余弦定理：bcacbAAbccba2cos,cos2222 2222下面给出测量问题中的一些术语的解释： （1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看
5、时，视线与水平面夹角为俯角 . （2）从某点的指北方向线起 ,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角 ,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率 .道路坡 度 100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45 度.45 度几乎跟墙壁一样的感觉了 . （4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就 是经纬度线. 3应用解三角形知识解决实际问题 的解题步骤：根据题意作出示意图； 确定所涉及的三 角形，搞清已知和未知； 选用合适的定理进行求解； 给出答案. 4.例题讲解： 例 1如图 1-3-1，为了测量河对岸两点之间
6、的距离，在河岸这边取点，测得,A B,C D，.设85ADCo60BDCo47ACDo72BCDo100CDm 在同一平面内，试求之间的距离（精确到）., ,A B C D,A B1m例 2如图 1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，A测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的45o10n mileC105o方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.9/n mile h21/n mile h求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确0.1o 到）.1min练习：练习：1.如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛
7、北偏东的A113图 1-3-1处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方C12203B1240的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.5kmE2如图，在四边形中，已知,，ABCDADCD10AD , , ，求的长.14AB 60BDAo135BCDoBC 解： 例 2作用在同一点的三个力平衡.已知，123,F F F130FN，与之间的夹角是，求的大小与方向250FN1F2F60o3F（精确到）.0.1o 解：本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析： 由图根据余弦定理可求出，再根据正弦定理求出.OF1FOF例 3如图 1-3-4，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，为半圆上O2A2OA B 任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面ABABCBOACB 积最大？分析：四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定，因此可设BBAOB ，再用的三角函数来表示四边形的面积.AOBOACB图 1-3-3（练习）解：
