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1、梅氏定理梅氏定理梅梅涅涅劳劳斯斯( (M Me en ne el la au us s) )定定理理及及其其逆逆定定理理梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。他 指出：如果一条直线与 ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E 点，那么 AF/FBBD/DCCE/EA=1。 它的逆定理也成立：若有三点 F、D、E 分别在的边 AB、BC、CA 或其延 长线上，且满足 AF/FBBD/DCCE/EA=1，则 F、D、E 三点共线。利用这个 逆定理，可以判断三点共线。 梅梅涅涅劳劳斯斯( (M Me en ne el la au us s) )定定理
2、理证证明明证明一： 过点 A 作 AGBC 交 DF 的延长线于 G, 则 AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得： (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 证明二： 过点 C 作 CPDF 交 AB 于 P，则 BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有 AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点 F、D、E 分别在ABC 的边 AB、BC、CA 或其延长线上，且满足 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，则 F、
3、D、E 三点共 线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 证明三： 过 ABC 三点向三边引垂线 AABBCC， 所以 AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 证明四： 连接 BF。 （AD：DB）（BE：EC）（CF:FA) =（SADF：SBDF）（SBEF：SCEF）（SBCF：SBAF） =（SADF：SBDF）（SBDF：SCDF）（SCDF：SADF） =1 塞瓦定理塞瓦定理塞瓦（Giovanni Ceva，16481734）意大利水利工程师，数学家。塞 瓦定理载于塞瓦于 1678 年发表的直线论一书
4、，也有书中说塞瓦定理是 塞瓦重新发现。 具体内容具体内容塞瓦定理 在ABC 内任取一点 O， 直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 （）本题可利用 梅涅劳斯定理 证明： ADC 被直线 BOE 所截， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而由ABD 被直线 COF 所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （）也可以利用面积关系证明 BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD- S
5、COD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC 得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点 : 设三边 AB、BC、AC 的垂足分别为 D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为 (AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA） /(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，所 以三条高 CD、AE、BF 交于一点。 可用塞瓦定理证明的其他定理 ; 三角形三条中线交于一点（ 重心）:如图 5 D , E 分别为 BC , AC 中 点 所以 BD=DC AE=EC 所以 BD/DC=1 CE/EA=1 且因为 AF=BF 所以 AF/FB 必等于 1 所以 AF=FB 所以三角形三条中线 交于一点
