数学建模：卫星和飞船的跟踪测控

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1、1高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设

2、置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3卫星和飞船的跟踪测控摘要本题的目的是在确定一定得测控角度的情况下，利用空间想象和相关文献资料设 计最少测控站个数和

3、具体飞船的覆盖范围。问题一利用以有限观测站点实现关键弧段连续测控的方法进行求解。求解所需建 立观测站点的最少数目，首先优先考虑每个观测站所能观测到的最大范围，因此仅考 虑测控范围边界线与地平面成 3 度角这一临界条件。地面上任意一个测控站在卫星轨 道上所能观测到的范围为一段弧长 L，然后根据卫星绕地球飞行轨道的总长度与每个测 控站点测控范围长度的关系求出至少应该建立 12 个测控站。关于问题二我们推想卫星实际运行轨迹为离地高度的球 除去上下各一个球冠Hs 的区域，然后寻求此区域面积与测控站所能测控最大范围面积的关系，查询相关数据，借助 MATLAB 求解出测控站数与轨道高度的关系式为。nH )

4、cosarcsin(cossin42 HRRn在问题三中，将模型二结果与实际作比较，发现有一定的差距，于是我们联系实 际，通过书籍和网络查找相关数据，将模型实际化，结合墨卡托投影原理，设想一个 与地轴方向一致的圆柱割于球 ，按等角条件将经纬网投影到圆柱上，将圆柱面展为平s 面后，得平面经纬网。此经纬网将每个观测站观测覆盖范围分成若干小方格，利用油膜法计算出观测范围的覆盖率。%37.59为论文的末尾给出了模型优缺点的分析和评价，并提出了模型的改进的方向：当考 虑到发射阶段这一复杂过程时，若把发射过程轨迹考虑成抛物线，并放入直角坐标系 中求出轨迹方程，再去完善模型，结果会更加的精确。关键字：测控站

5、数 轨迹 图论 墨卡托投影原理 油膜法4一、 问题的重述卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程 进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人 飞船）进行全程跟踪测控。测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角 3 度的范围内 测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角 3 度以上的空域。 在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，如神 州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如下图所示：图片来源 http:/ 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个

6、测 控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高 度为 H 的球面 S 上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经 度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全 部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些 测控站点对该卫星所能测控的范围。5二、问题的分析第一问中在所有测控站都与卫星运行轨道共面的情况下，我们考虑地面上任一个 测控站在卫星轨道上所能观测到的范围为一段弧长 L，因为只考虑观测范围与地平面的 夹角在 3 度以上的空域

7、，角度越大所观测到卫星轨道上得范围最大，因此只有在测控 范围地平面得夹角等于 3 度的时候每个测控站有最大的测控范围。然后根据卫星绕地 球飞行轨迹的总长度和每个测控站点测控范围总长度就能求出至少应该建立多少个测 控站。第二问考虑到卫星运行轨道与地球赤道平面有固定的角度，地球自转时该卫星在 运行过程中相继两圈的经度有些差异。下面我们给出了一个神舟七号轨迹图，图中红 线表示神舟七号飞船飞行的轨迹，卫星绕地球飞行的总轨迹可以大体上看成是一个包 围了地球的笼状球结构。我们需要讨论的是地面上的观测站所观测的范围能把飞船经 过的路径包括进去（即在测控站的测控范围之内） 。只有将这些一个个的测控范围拼到 一

8、起才能完成对卫星的全程跟踪测控。其次，我们需要考虑观测站观测范围的形状， 可想而知当形状为圆形的时候测控站的测控面积是最大的。因为卫星在球面 s 上运行 时不经过球冠区域，所以应该只考虑去掉球冠后球面 s 的区域。第三问我们分析二问的模型得出的结果并应用其模型，考虑测控站测控覆盖范围 与实际的偏差，以神七为例从实际出发进一步分析，收集其运行资料和测控站点分布 信息，建立模型计算覆盖率。三、 模型的假设1. 假设地球是一个规则的球体 2. 假设卫星轨道是圆形的 3. 假设卫星运行方向与地球自西向东旋转方向相同，且卫星速度大于地球自转 4. 假设卫星发射过程阶段在测控范围以内 5. 假设卫星在太空

9、飞行时不受阻力、电磁波等一切外界干扰条件的影响。6四、 符号说明： 所需测控站点的个数n: 卫星绕地球飞行的速度0: 地球赤道面上的线速度1: 地球上测控点在卫星轨道面上的线速度 1: 卫星轨道距离地面的高度h: 轨道面与赤道面有固定角度时卫星运行轨道距离地面的高度H: 卫星测控范围在卫星轨道上的弧长L: 测控站测控范围的半径r: 地球半径R: 观测点的切平面与测控范围边界的夹角: 测控范围在卫星轨道上的边界点与地心和观测站连线的夹角0: 测控范围在卫星轨道上的边界点与地心连线的夹角: 卫星轨道与赤道平面夹角五、模型的建立与求解5.1 关于问题 1 的模型建立与求解根据所有测控站都与卫星的运行

10、轨道共面的情况下，卫星轨道和所有测控站看成 是两个同心圆。不考虑地球自转等其它的因素的影响，利用观测范围角度最大（即每个测控站的测控范围的边界与地平面的夹角成）时，建立测控站个数与卫星轨道3n7高度之间的关系。h根据题意及假设，画出测控站测控卫星运行简易图：图（一）由正弦定理得：0sin)2sin(RhR 则（式 1）)2sin( arcsin(0hRR 由三角形内角和得：（式 2）0)2(28由扇形的弧长公式得：（式 3）)(hRL所需卫星测控站数:（式 4）LhRn)(2利用 Matlab 将式（1） （2） （3） （4）联立求得与的关系式：nh)cosarcsin(222hRRn代入神

11、舟七号飞船的数据：（千米） ，（千米） ，进行验证：6371R343h 35178.11n根据实际情况等于 12.n5.2 关于问题 2 的模型建立与求解与问题 1 不同的是卫星运行轨道与赤道平面有固定的夹角，而且考虑到地球自转 时该卫星在运行过程中相继两圈的经度存在差异。根据卫星运行轨迹所在离地高度为 的球面 s 上的覆盖面积和一个测控站测控范围的面积可以求出应建立测控站个数。hn卫星实际运行轨迹图像如下：9图（二）下图为球 s 去掉上下球冠后的球面图：图（三）10测控站所观测范围图：图（四）卫星运行轨迹球面 S 的总表面积：（式 5）2 1)(4HRS根据球冠公式得球面 s 的球冠为：（式

12、 6）)sin1 ()(22 2HRS则卫星实际经过球面 s 上的面积：（式 7）2132SSS根据正弦定理有：（式 8）0sin)2sin(RHR 测控站的观测范围面积：（式 9）2 02 4)cos()( HRrS出于计算和实际考虑，我们将圆假设为一个等面积的正方形进行计算11所需卫星测控站数：（式 10）43 SSn 利用 Matlab 解（5） （6） （7） （8） （9） （10）式得：)cosarcsin(cossin42 HRRn代入神舟七号飞船的数据：（千米） ，（千米） ，6371R343H 34 .42进行验证：1662.37n根据实际情况取等于 38.n5.3 关于问题

13、 3 的模型建立与求解我们将神州七号飞船相关数据带入模型二中，发现有一定的差距，可见模型二是建立 在在理想情况下，于是我们将问题实际化，以神舟七号在人飞船为例进一步建立模型， 通过上网查阅资料，搜集了我国神州 7 号飞船运行资料和相关测控站点的分部信息， 飞船运行在轨道倾角 42.4 度、近地点高度 200 公里、远地点高度 350 公里的椭圆轨道 上，实施变轨后，进入 343 公里的圆轨道。根据测控站在卫星轨道上的测控范围的边 界点与地心连线得出在地球表面上与该范围对应区域并建立相应模型，利用墨卡托投 影原理和油膜法，得出测控站点对神州 7 号所能测控的范围。查得国内固定 6 站和国外 4

14、站经纬列表如下：站名纬度经度东风站北纬 3941东经 9830喀什站北纬 3924东经 7606和田站北纬 3706东经 795512青岛站北纬 3611东经 12018渭南站北纬 3429东经 10930厦门站北纬 2435东经 11758纳米比亚站北纬 2240东经 1431卡拉奇站北纬 2451东经 6700马林迪站南纬 313东经 4006圣地亚哥站南纬 3326东经 7038图（五）将地球沿经度方向切开平展，沿纬度方向平均分成 36 段，沿纬度方向分成 24 段则每 段经度差异为 10 度。因为地球赤道周长为 4 万千米，所以相邻两经度的距离约为m，卫星运行轨d6101 . 1 13道离地面高度为 343 千米，地球半径为 6371 千米。根据三角形相似解出：rr HRR0（米）6 01037. 6rHRRr由与的关系知：0rd60dr可认为测控站测控到卫星轨道圆面在地球上的投影是一个以 6 个方格子为半径的圆面。 联系各观测站点的经纬位置可在图中确定观测站的具体位置，进而确定它在地球上的 对应区域。方案如图所示：14图(六) 地球面积求解和测控范围的求解将此图分成 3624 的格子图，由油膜法计算，认为大于半格为一个格子，小于半格忽 略不计，得出覆盖的格子为 513 个，求出覆盖率：%37.592436513六、模型的评价