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1、西城区高三模拟测试高三数学（理科） 2017.5第第卷卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数z(1, 2)Zzz （A）12i（B）12i（C）2i（D）2i2下列函数中，值域为的是0,1（A）2yx（B）sinyx（C）21 1yx（D）21yx3在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是sin（A）(1,)2（B）(1, 0)（C）1(,)22（D）1(, 0)24在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是320, 330, 0xy xy y （A）
2、1（B）3 2（C）2（D）5 25设双曲线的离心率是，则其渐近线的方程为22221(0,0)yxabab3（A）2 20xy（B）2 20xy（C）80xy（D）80xy6设，是平面上的两个单位向量，若，则的最小值是ab3 5a bmR|mab（A）3 4（B）4 3（C）4 5（D）5 47函数若存在，使得，则 k 的取值范围是( )|f xx x1,)x(2 )0f xkk（A）(2,)（B）(1,)（C）1( ,)2（D）1( ,)48有三支股票 A，B，C，28 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票在不持有 A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有 C 股票的人数的
3、2 倍在持有 A股票的人中，只持有 A 股票的人数比除了持有 A 股票外，同时还持有其它股票的人数多 1在只持有一支股票的人中，有一半持有 A 股票则只持有 B 股票的股民人数是（A）7（B）6（C）5（D）4第第卷卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9执行如图所示的程序框图,输出的值为_S10已知等差数列的公差为，且成等比数列，na2124, , aaa则_；数列的前项和_1a nannS 11在中，角，的对边分别是，若，则ABCABCabc 3A3a 1b _c 12函数 则_；方程的解是_22 , 0,( )log, 0.xxf xx
4、x1( )4f1()2fx13大厦一层有 A，B，C，D 四部电梯， 人在一层乘坐电梯上楼，其中人恰好乘坐同一32部电梯，则不同的乘坐方式有_种 （用数字作答）14在空间直角坐标系中，四面体在坐标平面上的一组正OxyzABCD,xOyyOzzOx投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示） 该四面体的体积是_三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）已知函数( )tan()4f xx（）求的定义域；( )f x（）设，且，求的值(0,)( )2cos()4f16 （本小题满分 14 分）如图，在几何体中，底面为矩形， 点在棱
5、ABCDEFABCD/EFCDADFCM上，平面与棱交于点FCADMFBN（）求证：；/ADMN（）求证：平面平面；ADMN CDEF（）若，平面平面，求二面角CDEAEFED2CDEFADE IBCFl的大小 AlB 17 （本小题满分 13 分）某大学为调研学生在 A，B 两家餐厅用餐的满意度，从在 A，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了 100 人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为 60 分整理评分数据，将分数以为组距分成组：，1060,10)10,20)20,30)30,40)，得到 A 餐厅分数的频率分布直方图，和 B 餐厅分数的频数分布表：40,50)50,60定义学生对
6、餐厅评价的“满意度指数”如下：分数0,30)30,50)50,60满意度指数012（）在抽样的 100 人中，求对 A 餐厅评价“满意度指数”为的人数；0（）从该校在 A，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取 1 人进行调查，试估计其对 A 餐厅评价的“满意度指数”比对 B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（）如果从 A，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由18 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点xOyCx(1,2)P（）求抛物线的方程；C（）设点在抛物线上，直线分别与轴交于点，,A BC,PA PBy,M N| |PMPN
7、求直线的斜率AB19 （本小题满分 13 分）已知函数，其中21( )() exf xxaxaaR（）求函数的零点个数；( )fx（）证明：是函数存在最小值的充分而不必要条件 0a( )f x20 （本小题满分 13 分）设集合如果对于的每一个含有个元* 21,2,3,2 (,2)nAnnnNL2nA(4)m mB 餐厅分数频数分布表餐厅分数频数分布表分数区间频数 0,10)2 10,20)3 20,30)5 30,40)15 40,50)40 50,6035素的子集，中必有个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”PP441nm2nA （）当时，判断 5 和 6 是否为集合的“相关数”
8、，说明理由；3n 6A（）若为集合的“相关数” ，证明：；m2nA30mn （）给定正整数求集合的“相关数”的最小值n2nAm西城区高三模拟测试高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.5一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.1A 2D 3C 4B 5A 6C 7D 8A二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 9 10， 11722nn212；或 13 14221364 3注：第注：第 10，12 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分. 三、解答题：
9、本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. . 15 （本小题满分 13 分）解：（）由 ，得 ， 342xk4xkkZ分所以 函数的定义域是 4 分( )f x |,4x xkkZ（）依题意，得 5 分tan()2cos()44所以 ， 7 分sin()42sin()4cos()4 整理得 ， 8 分sin() 2cos()1044所以 ，或 10 分sin()041cos()42因为 ，所以 ， 11 分(0,) 5(,)444由 ，得 ，； 12 分sin()0443 4由 ，得 ，1c
10、os()42 43 12所以 ，或 13 分 123 416 （本小题满分 14 分）解：（）因为 为矩形， 所以， 1ABCD/ADBC分所以 平面 3/ADFBC分又因为 平面平面，ADMN IFBCMN所以 4/ADMN分（）因为 为矩形，所以 5ABCDADCD分因为 ， 6ADFC分所以 平面 7AD CDEF分所以 平面平面 8 分ADMN CDEF（）因为 ，EACDADCD所以 平面，CD ADE所以 CDDE由（）得平面，AD CDEF所以 ADDE所以 ，两两互相垂直 9DADCDE分建立空间直角坐标系 10 分Dxyz-不妨设 ，则，设1EFED2CD (0)ADa a由
11、题意得，( ,0,0)A a( ,2,0)B a(0,2,0)C(0,0,0)D(0,0,1)E(0,1,1)F所以 ，( ,0,0)CBa (0, 1,1)CF 设平面的法向量为 ，则FBC( , , )x y zn即 令，则0,0,CBCF nn0, 0.ax yz 1z 1y 所以 12 分(0,1,1)n又平面的法向量为 ，所以ADE(0,2,0)DC |2|cos,|2|DCDC DC |nn n因为 二面角的平面角是锐角，AlB 所以 二面角的大小 14 分AlB 45o17 （本小题满分 13 分）解：（）由对 A 餐厅评分的频率分布直方图，得对 A 餐厅“满意度指数”为的频率为 ， 2 分0(0.0030.0050.012) 100.2所以，对 A 餐厅评价“满意度指数”为的人数为 3 分01000.220（）设“对 A 餐厅评价满意度指数比对 B 餐厅评价满意度指数高”为事件C记“对 A 餐厅评价满意度指数为 ”为事件；“对 A 餐厅评价满意度11A指数为”为事件；“对 B 餐厅评价满意度指数为”为事件；22A00B“对 B 餐厅评价满意度指数为 ”为事件 11B所以 ， 5 分1(A )(0.020.
