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1、数学概念的发现教学模式与案例分析数学概念的发现教学模式与案例分析数学概念是数学科学知识体系的重要基础之一，也是数学数学概念是数学科学知识体系的重要基础之一，也是数学思维的一种形式，它是反映数学对象本质属性和特征的思维形思维的一种形式，它是反映数学对象本质属性和特征的思维形式。数学概念的学习与数学知识的掌握、知识结构的形成、数式。数学概念的学习与数学知识的掌握、知识结构的形成、数学能力的提高密切相关，因此，上好概念课对提高教学质量极学能力的提高密切相关，因此，上好概念课对提高教学质量极其重要。在教学活动中怎样实施概念课的教学呢？以下结合教其重要。在教学活动中怎样实施概念课的教学呢？以下结合教学实
2、例介绍数学概念的一种教学方法学实例介绍数学概念的一种教学方法发现式教学。发现式教学。（一）概念的发现教学模式（一）概念的发现教学模式概念的发现教学是鼓励学生借助归纳推理从实例中发现数概念的发现教学是鼓励学生借助归纳推理从实例中发现数学概念的教学，其学习理论基础是概念形成，即通过对概念所学概念的教学，其学习理论基础是概念形成，即通过对概念所反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念。概念的发现教学模式一般可以概括出以性，从而形成新概念。概念的发现教学模式一般可以概括出以下四阶段：辨别和分类；假设和解释；概括；验证
3、和调整。下四阶段：辨别和分类；假设和解释；概括；验证和调整。第一阶段：辨别和分类第一阶段：辨别和分类在这一阶段，教师呈现给学生的应该是一些要求学生对事在这一阶段，教师呈现给学生的应该是一些要求学生对事物进行知觉辨别或分类的任务。这个时候，教师应更多地作为物进行知觉辨别或分类的任务。这个时候，教师应更多地作为引导者，不要过多干涉学生感知事物的活动，更不要包办代替引导者，不要过多干涉学生感知事物的活动，更不要包办代替，而要为学生提供动手操作的机会，让学生充分地利用多种感，而要为学生提供动手操作的机会，让学生充分地利用多种感觉器官参与活动，这样有利于学生全方位地感知概念，分析概觉器官参与活动，这样有
4、利于学生全方位地感知概念，分析概念的共同特征。念的共同特征。第二阶段：假设和解释第二阶段：假设和解释在这一阶段，学生需要对他们分类的事物作出假设或解释在这一阶段，学生需要对他们分类的事物作出假设或解释。比如，为什么把这些事物归为一类，假定这类事物具有的共。比如，为什么把这些事物归为一类，假定这类事物具有的共同特征是什么？这时教师应该扮演促进者的角色，通过提出一同特征是什么？这时教师应该扮演促进者的角色，通过提出一些启发性问题，激发学生的思考，引导他们把假设和解释表达些启发性问题，激发学生的思考，引导他们把假设和解释表达得更为清晰。得更为清晰。第三阶段：概括第三阶段：概括在这一阶段，学生应该试着
5、根据概念的属性对概念加以描在这一阶段，学生应该试着根据概念的属性对概念加以描述（也就是找到那些正例才有而反例没有的属性），甚至进一述（也就是找到那些正例才有而反例没有的属性），甚至进一步对概念下一个定义。不过，对这个概念的命名就不可能通过步对概念下一个定义。不过，对这个概念的命名就不可能通过学生的独立探索能够发现，这时教师应该作为讲授者把传统上学生的独立探索能够发现，这时教师应该作为讲授者把传统上我们给这个概念赋予的名称告诉学生。我们给这个概念赋予的名称告诉学生。第四阶段：验证和调整第四阶段：验证和调整在这一阶段，学生将用其他一些例子（不是自己用来归纳在这一阶段，学生将用其他一些例子（不是自己
6、用来归纳出概念的那些例子）来检验自己关于概念的定义或描述是否正出概念的那些例子）来检验自己关于概念的定义或描述是否正确：把已经知道的那些属于该概念的正例拿来检验是否符合自确：把已经知道的那些属于该概念的正例拿来检验是否符合自己给出的概念的定义或描述，同时也把那些已经知道不属于该己给出的概念的定义或描述，同时也把那些已经知道不属于该概念的反例拿来检验是否确实不符合自己给出的概念的定义或概念的反例拿来检验是否确实不符合自己给出的概念的定义或描述。如果发现有不适合的情况，就需要对定义或描述做适当描述。如果发现有不适合的情况，就需要对定义或描述做适当的修订。必要时，可能还要回到前三个阶段重新考虑。这阶
7、段的修订。必要时，可能还要回到前三个阶段重新考虑。这阶段教师作为裁判员，对学生的验证过程进行裁决和指导。教师作为裁判员，对学生的验证过程进行裁决和指导。总之，观察总之，观察猜想猜想操作操作验证是进行试验的基本方法和验证是进行试验的基本方法和步骤。在初中数学教学中，有许多方面，比如图形的变换，勾步骤。在初中数学教学中，有许多方面，比如图形的变换，勾股定理的证明，多边形内角和的探索等，都是鼓励学生开展数股定理的证明，多边形内角和的探索等，都是鼓励学生开展数学实验的好素材。学实验的好素材。（二）案例分析：（二）案例分析：函数函数教学设计教学设计这里可以用人教版八年级上册第十四章第二节这里可以用人教版
8、八年级上册第十四章第二节函数函数的的教学设计来说明概念的发现教学模式。第一节教学设计来说明概念的发现教学模式。第一节变量变量的教学的教学中，教师提供了教材上的行程问题、票房收入、弹簧长度等五中，教师提供了教材上的行程问题、票房收入、弹簧长度等五个问题，学生通过观察发现这些问题反映了不同事物的变化过个问题，学生通过观察发现这些问题反映了不同事物的变化过程，在变化过程中，一些量的数值发生变化，一些量的数值始程，在变化过程中，一些量的数值发生变化，一些量的数值始终不变，经教师提供常量和变量这两个术语后，学生对照他们终不变，经教师提供常量和变量这两个术语后，学生对照他们见到的数据，不难理解常量和变量两
9、个概念。本节课是在学生见到的数据，不难理解常量和变量两个概念。本节课是在学生掌握了常量和变量的基础上利用发现教学模式学习掌握了常量和变量的基础上利用发现教学模式学习“函数函数”这这一重要数学概念。一重要数学概念。1 1、观察实例与辨别实例的特征、观察实例与辨别实例的特征教师继续用上节提供的五个实例让学生深入探究。让学生教师继续用上节提供的五个实例让学生深入探究。让学生指出每个问题中哪些是常量，哪些是变量，观察同一个问题中指出每个问题中哪些是常量，哪些是变量，观察同一个问题中的变量之间有什么联系，激发学生思考。例如问题（的变量之间有什么联系，激发学生思考。例如问题（1 1）中，让）中，让学生填表
10、观察两个变量，行驶时间学生填表观察两个变量，行驶时间 t t 和行驶里程和行驶里程 s s 的变化情况的变化情况；问题（；问题（2 2）中，经过计算让学生发现售票数量）中，经过计算让学生发现售票数量 x x 与票房收入与票房收入 y y之间的变化情况。之间的变化情况。2 2、假设与解释、假设与解释通过教师引导性提问，学生需要发现所列表格中两个变量通过教师引导性提问，学生需要发现所列表格中两个变量取值之间的关系，于是学生发现，在两组数据中，当其中一个取值之间的关系，于是学生发现，在两组数据中，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之确定一个值。这五个实例变量取定一个值时，另一个变量随之确定一个
11、值。这五个实例的两个变量都具有同样的特征。的两个变量都具有同样的特征。3 3、抽象和概括、抽象和概括上述五个例子，学生要概括函数的定义是有困难的。这里教上述五个例子，学生要概括函数的定义是有困难的。这里教师直接提供函数的定义。由于事先有五个实例的分析，学生对师直接提供函数的定义。由于事先有五个实例的分析，学生对照实例能初步理解函数定义和与之相关的照实例能初步理解函数定义和与之相关的 x x 变量（自变量）和变量（自变量）和y y 变量（自变量的函数）。但这种理解是初步的，所以可以说变量（自变量的函数）。但这种理解是初步的，所以可以说定义性概念学习处于陈述性阶段。定义性概念学习处于陈述性阶段。4
12、 4、验证和调整、验证和调整教师为学生出示教材中教师为学生出示教材中 9696 页页“思考思考”的两个问题：（的两个问题：（1 1）心电图，（心电图，（2 2）我国人口数统计表，学生将用这两个例子来检验）我国人口数统计表，学生将用这两个例子来检验自己关于函数的定义或描述是否正确。例如在心电图中，时间自己关于函数的定义或描述是否正确。例如在心电图中，时间x x 是自变量，心脏电流是自变量，心脏电流 y y 是是 x x 的函数；人口数统计表中，年份的函数；人口数统计表中，年份x x 是自变量，人口数是自变量，人口数 y y 是是 x x 的函数，教师将对学生检验过程进的函数，教师将对学生检验过程
13、进行指导。下一步教师将用变式练习让学生对函数的理解更加深行指导。下一步教师将用变式练习让学生对函数的理解更加深刻。变式练习是把学习得的定义性概念运用于解决日常生活中刻。变式练习是把学习得的定义性概念运用于解决日常生活中的问题，包括解决汽车油箱中的油量的问题，包括解决汽车油箱中的油量 y y 与行驶里程与行驶里程 x x 的关系；的关系；人均占有耕地面积人均占有耕地面积 y y 与这个村人数与这个村人数 n n 的关系等。在这些练习中的关系等。在这些练习中，学生必须应用学习得的函数定义，分析实例中的常量、变量，学生必须应用学习得的函数定义，分析实例中的常量、变量、自变量和自变量对应的函数等相关概念。、自变量和自变量对应的函数等相关概念。应指出，以上在教师指导下的发现学习形式，函数学习的应指出，以上在教师指导下的发现学习形式，函数学习的关键性部分不是学生发现的，而是教师或教科书提供的，但教关键性部分不是学生发现的，而是教师或教科书提供的，但教师让学生参与了发现的过程。要知道，要求完全的发现教学设师让学生参与了发现的过程。要知道，要求完全的发现教学设计是不现实的。计是不现实的。
