《拉普拉斯变换与复频域分析1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《拉普拉斯变换与复频域分析1（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第5章章 拉普拉斯变换与复频域分析拉普拉斯变换与复频域分析信号与系统信号与系统 袁怡圃袁怡圃主要内容主要内容 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 复频域分析复频域分析 系统函数系统函数H(s) 系统函数与系统特性系统函数与系统特性 系统的稳定性系统的稳定性频域分析以虚指数信号频域分析以虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可分解为为基本信号，任意信号可分解为 众多不同频率的虚指数分量之和，使响应的求解得到简化，物众多不同频率的虚指数分量之和，使响应的求解得到简化，物 理意义清楚。但也有不足：理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存
2、在傅里叶变换，如）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tu(t) ;（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域复频域来解来解 决这些问题。决这些问题。本章引入复频率本章引入复频率s = +j,以复指数函数以复指数函数est为基本信号，任意信为基本信号，任意信 号可分解为号可分解为不同复频率的复指数分量之和不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率这里用于系统分析的独立变量是复频率s ，故称为，故称为s域分析域分析。 所采用的数学工具为所采用的数
3、学工具为拉普拉斯变换拉普拉斯变换。一、拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换1.从傅立叶变换到拉普拉斯变换从傅立叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足有些函数不满足绝对可积条件绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，求解傅里叶变换困难。为此， 可用一衰减因子可用一衰减因子e -t(为实常数）乘信号为实常数）乘信号f(t) ，适当选取，适当选取的值，的值， 使乘积信号使乘积信号f(t)e -t当当t时信号幅度趋近于时信号幅度趋近于0 ，从而使，从而使f(t)e -t 的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。()() ( )( )( )ttj tjtFjf t ef t eedtf t edtF F相应的傅里叶逆变
4、换为相应的傅里叶逆变换为dejFetftjt)(21)(dejFtftj)()(21)(令令，有，有,dssjdjdtetfsFst)()(1( )( )2jstjf tF s e dsj FB(s)称为称为f(t)的的双边拉氏变换双边拉氏变换（或（或象函数象函数），）， f(t)称为称为FB(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。的双边拉氏逆变换（或原函数）。2.收敛域收敛域只有选择适当的只有选择适当的值才能使积分收敛，使信号值才能使积分收敛，使信号f(t)的双边拉普的双边拉普拉斯变换存在。拉斯变换存在。使使f(t)拉氏变换存在拉氏变换存在的取值范围称为的取值范围称为FB(s)的的收敛域收敛域
5、。下面举例说明下面举例说明FB(s)收敛域的问题。收敛域的问题。() () 10 01( )1 lim()st tsttj t BteFse edteess 1Re ss ，不定，无界，例例1 因果信号因果信号f1(t)= eatu(t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当 Res=Res=时，其拉氏变换存时，其拉氏变换存 在。收敛域如图所示。在。收敛域如图所示。解：解：例例2 反因果信号反因果信号f2(t)= etu(-t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。0()0() 21( )1lim()()st tsttj t BteFse
6、 edteess Re 1 ()ss 无界，不定，可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res=时，其收敛域时，其收敛域为为 ，可以省略。本课程主要讨论单边拉普拉斯变换。，可以省略。本课程主要讨论单边拉普拉斯变换。3.单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换0( )( )defstF sf t edt1( )( )2defjstjf tF s e dsj 象函数象函数原函数原函数 ( )( )f tF sL L1 ( )( )F sf tL L( )( )f tF s常记为常记为或或4.常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换( )1,t ( )11/ ,0u ts或0 0 01,R
7、e()s tesss 00 022 0cos()/2jtjtstees000 022 0sin()/2jtjtteejs1.2.3.1!n nnts4.5.单边拉氏变换与傅里叶变换的关系单边拉氏变换与傅里叶变换的关系00( )( ),Re stF sf t edts()( )j tF jf t edt要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。必须为因果信号。根据收敛坐标根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况：的值可分为以下三种情况：（1）0 0，F(j)不存在。不存在。如如2( )( )( )1/(2),2tf te u tF ss其傅里叶变换不存在。其傅里叶变换不存在。例例6 绘制绘制的拉普拉斯变换的曲面图，的拉普拉斯变换的曲面图，并与信号傅里叶变换绘制的振幅频谱进行比较。并与信号傅里叶变换绘制的振幅频谱进行比较。( )( )(2)f tu tu t解：原信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换分别为解：原信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换分别为21( )seF ss()2( )jF jSae拉普拉斯变换（拉普拉斯变换（s域象函数）域象函数）傅里叶变换（振幅频谱曲线）傅里叶变换（振幅频谱曲线）
