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1、2010 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）参考答案及评分标准说明： 1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的 错误，就不再给分 3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号12345678答案BAC
2、DADDC二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题）9 27 10 8 11 6 12 13 67 2)0,(U（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）14 1527710三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分 12 分）已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为)3sin()6sin(2)(xxxfRx（1）求的值；（2）在中，若，且，求ABCBA21)()(BfAfABBC解解：（1） 2)3(cos)6sin(2)3sin()6sin(2)(xxxx
3、xf 4 分)6cos()6sin(2xx)32sin(x而的最小正周期为，为正常数，)(xf， 22解之，得 6 分1（2）由（1）得)32sin()(xxf若是三角形的内角，则，x x035 323x令，得，21)(xf21)32sin(x或，632x65 32x解之，得或4x127x由已知，是的内角，且，BA ,ABCBA21)()(BfAf， 10 分4A127B6BAC又由正弦定理，得 12 分221226sin4sinsinsinCA ABBC说明说明：本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正弦定理等基础知识，以及运算求解能力17 （本小题满分 12
4、 分）如图 5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，ACDEABC90BACACD ，60EACABACAE（1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；BCP/DPEAB（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值EBDABC解解：（1）线段的中点就是满足条件的点 1 分BCP证明如下：取的中点连结，则ABFDPPFEF、， 2 分ACFP/ACFP21取的中点，连结，ACMEMEC、且，ACAE 60EAC是正三角形，EACACEM 四边形为矩形，EMCD又，3 分ACMCED21ACED/且，FPED/EDFPABCDEPMF四边形是平行四边形4 分EFPD，EFDP/而平面，平面，E
5、F EABDP EAB平面 6 分/DPEAB（2） （解法 1）过作的平行线 ，过作 的垂线交 于，连结，BAClCllGDG，ACED/，lED/是平面与平面所成二面角的棱8 分lEBDABC平面平面，EAC ABCACDC 平面，DCABC又平面，平面，lABClDGC，DGl 是所求二面角的平面角10 分DGC设，则，aAEACAB2aCD3aGC2，aCDGCGD722 12 分772coscosGDGCDGC（解法 2），平面平面，90BACEACD ABC以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面AABxACyxyzAz内（如图） EACD设，由已知，得，aA
6、EACAB2)0,0,2( aB)3,0(aaE)3,2,0(aaD， 8 分)3,2(aaaEB)0,0(aED 设平面的法向量为，EBD),(zyxn则且，EBnEDn .0,0EDEBnn .0,032 ayazayax解之得 .0,23yzx取，得平面的一个法向量为2z EBD. 10 分)2,0,3(n又平面的一个法向量为 ABC) 1,0,0(nABCDEPMFGABCDEPMFyxz12 分77210020)3(120003,coscos 222222 nn说明说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力18 （
7、本小题满分 14 分）已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，)(xf)(xf Rx2) 1()(xxfxf 恒成立（1）求的解析表达式；)(xf（2）设，曲线：在点处的切线为 ， 与坐标轴围成的三角形面积为0tC)(xfy )(,(tftPll求的最小值)(tS)(tS解解：（1）设（其中） ，则， 2 分cbxaxxf2)(0abaxxf 2)( cbaxbaaxcxbxaxf)2() 1() 1() 1(22由已知，得，22(1)(2)axbaxab xabc，解之，得， bcbaabaa 22011a0b1c 5 分1)(2xxf（2）由（1）得，切线 的斜率，)1,(2ttPltt
8、fk2)( 切线 的方程为，即 7 分l)(2)1 (2txtty122ttxy从而 与轴的交点为， 与轴的交点为，lx)0,21(2ttAly) 1,0(2tB（其中） 9 分tttS4) 1()(220t 11 分224) 13)(13)(1()( tttttS当时，是减函数；330 t0)( tS)(tS当时，是增函数 13 分33t0)( tS)(tS 14 分934 33)(min StS说明说明：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力19 （本小题满分 14 分）某投资公司在 2010 年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项
9、目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，30%15%且这两种情况发生的概率分别为和；7 92 9 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能亏损，也可50%30%能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和3 51 31 15（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润本金）可以翻一番？（参考数据：，）lg20.3010lg30.4771解解：（1）若按“项目一”投资，设获利万元，则的分布
10、列为111300150P7 92 9（万元）. 2 分172300( 150)20099E 若按“项目二”投资，设获利万元，则的分布列为：2225003000P3 51 31 15（万元）. 4 分2311500( 300)02005315E 又， 5 分22 172(300200)( 150200)3500099D ，6 分222 2311(500200)( 300200)(0200)1400005315D 所以，12EE12DD这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 8 分（2）假设年后总资产可以翻一番，依题意：，即，10 分n2001000
11、(1)20001000n1.22n两边取对数得：lg20.30103.80532lg2lg3 12 0.30100.4771 1n 所以大约 4 年后，即在 2013 年底总资产可以翻一番 13 分答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在 2013 年底，总资产可以翻一番14 分说明说明：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识，以及运用这些知识解决实际问题的能力20 （本小题满分 14 分）已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，ABxy33xy33AB32是的中点PAB（1）求动点的轨迹的方程；PC（2）过点作直线 （与轴不垂直）与轨迹交于两点，与轴交于点若)0,1 (QlxCMN、yR，证明：为定值RMMQuuu u ruuu u rRNNQuuu ruuu r解解：（1）设， ),(yxP),(11yxA),(22yxB是线段的中点， 2 分PAB1212,2.2xxxyyy分别是直线和上的点，AB、3 3yx3 3yx 和113 3yx223 3yx 4 分12122 3 ,2 3.3xxyyyx又， 5 分2 3AB uuu r12)()(2 212 21yyxx，22412123yx动点的轨迹的方程为 6 分PC2 219xy（2）依题意，直线 的斜率存在，故可设直线 的方程为 7 分ll(1)yk x设、，),(33yxM),(44yxN)
