《北京课改版数学九上22.3《正多边形的有关计算》word练习题含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京课改版数学九上22.3《正多边形的有关计算》word练习题含答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、正多边形的有关计算正多边形的有关计算 【基础知识精讲基础知识精讲】一、定理一、定理: : 正正 n n 边形的半径和边心距把正边形的半径和边心距把正 n n 边形分成边形分成 2n2n 个全等的直角三角形个全等的直角三角形. .二、正多边形有关计算二、正多边形有关计算 (1)(1)正正 n n 边形角的计算公式：边形角的计算公式：每个内角等于每个内角等于nn180)2(n(n 为大于或等于为大于或等于 3 3 的整数的整数) )；每个外每个外角每个中心角角每个中心角n360. .(2)正 n 边形的其他有关计算，由于正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形，而每个
2、直角三角形都集中地反映了这个正 n 边形各元素之间的关系，所以，可以把正 n 边形的计算转化为解直角三角形的问题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径 R，一条直角边是边心距 rn，另一条直角边是边长 an的一半(即2na)；两个锐角分别为中心角的一半(即n180)和一个内角的一半(即n90)或(即 90-n180).【重点难点解析重点难点解析】重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题.难点是通过作正 n 边形的半径和边心距把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题.例 1.某正多边形的每个内角比其外角大 100，求这个正多边形的边数.解：设此正多边形的边数为 n，则各内角为nn180)
3、2(，外角为n360，依题意得：nn180)2(-n360100.解得 n9答：这个正多边形的边数为 9.例 2.如图 7-42，已知：正三角形 ABC 外接圆的半径为 R，求它的边长，边心距、周长和面积.解：连结 OB，过 O 作 OMBC 于 MBOM318060，OBM30OM21OB21R，32RBM22OMOB 22)2(RR 23Ra3BC2BM3RP33a333RS33SBOC321 3R2R433R2例 3.一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比.解：如图 7-43，设 O，O分别是正三角形 ABC，正六边形 EFGHIJ 的中心，分别作 ODBC 于 D，作OK
4、GH 于 K，连 OB，OG，则在 RtODB 中，BOD318060，BD21a3，r3ODBDctg6063a3，S36SODB621BDOD62121a363a343a32.在 RtOKG 中，GOK618030，GK21a6r6OKGKctg3023a6S612SOGK1221GKOK122121a3223a6233a62S3S6，43a23233a262 62 5 aa23，2 62 5 aa23，即 a3a226例 4.求证：正 n 边形的面积 Sn等于其周长 Pn与边心距 rn的积的一半.证明：如图 7-44，设O 是正 n 边形 ABC的内切圆，其中 AB 与O 相切于 D，连
5、 OA，OD，OB，知ODAB 且 ODrn，SOAB21ABOD21nPnrn.正 n 边形有 n 个如同OAB 的等腰三角形，SnnSOABn21nPnrn21Pnrn.【难题巧解点拨难题巧解点拨】例 1.已知：如图 7-45，O 半径为 R，求O 内接正八边形的边长 a8，边心距 r8和中心角.解：连结 OA、OB，并作 OKAB 于点 K，中心角 AOB836045在 RtAOK 中，AKO90，OAR，AOK2122.5故 AKOAsinAOKRsin22.5，AK0.3827Ra8AB2AK0.7654Rr8OKOAcosAOKRcos22.50.9239R说明说明(1)(1)正多
6、边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计算常正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计算常常归结为解这个直角三角形常归结为解这个直角三角形. .(2)(2)若正若正 n n 边形的半径为边形的半径为 R R，则它的中心角，则它的中心角 n360，边长边长 a an n2Rsin2Rsinn180，边心距，边心距 r ra aRcosRcosn180. .例 2.已知如图 7-46，等边ABC 的边长为 a，求其内切圆的内接正方形 DEFG 的面积.解：设 BC 切O 于 M，连 OM，OB，则 OMBC，在 RtOMB 中，BOM318
7、060BM21BC21aOMBMctgBOM21actg6063a连结 OE，作 ONEF 于 N，则 OEOM63a在 RtONE 中，EON418045，OE63aENOEsinEON63a22126aEF2EN66aS正方形 DEFGEF2(66a)262a说明解这类问题是正确画出图形，构造直角三角形，在本题中，由于正三角形内切圆 O 的半径既是正三角形的边心距，又是正方形的半径，所以求出O 的半径是个突破口.【课本难题解答课本难题解答】例.已知：半径为 R 的圆内接正 n 边形的边长为 an，求证：同圆内接正 2n 边形的面积等于21nRan， 利用这个结果，求半径为 R 的圆内接正八
8、边形的面积(用代数式表示).提示：如图 7-47，连结 OA，OB，OAAB，则 OAAB，四边形 OAAB 的面积等于21ABOA21Ran半径为 R 的圆内接正 2n 边形的面积等于21nRan半径为 R 的正八边形的面积等于214Ra422R2【命题趋势分析命题趋势分析】正多边形的有关计算是正多边形和圆的一个重点命题内容，主要在各类考试中的填空和选择题中.【典型热点考题典型热点考题】例 1.已知正六边形的半径为 3cm，则这个正六边形的周长为cm.(2000 年江苏南通)分析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用 P66an求出周长. 例 2.已知正多边形的边心距与边长的比为21，
9、则此正多边形为( ).A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形(2000 年浙江台州)分析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选(B).例 3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.26B.43C. 36D.34(2000 年北京石景山)分析：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选(A).【同步达纲练习同步达纲练习】一、填空题1.正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成个全等的直角三角形.2.正三角形的半径为 R，则边长为，边心距为，面积为.若正三角形边长为 a，则半径为.3.正 n 边形的一个外角为 30，则它的边数为，它的内角和为.4.如果一正 n 边
10、形的一个外角等于一个内角的三分之二，则这个正 n 边形的边数 n .5.正六边形的边长为 1，则它的半径为，面积为.6.同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为.7.正三角形的高半径边心距为.8.边长为 1 的正六边形的内切圆的面积是. 二、选择题1.正方形的外接圆半径与内切圆的半径之比是( )A.21 B.21 C.12D.122.两圆半径之比为 23，小圆的外切正六边形与大圆的内接正六边形面积之比为( )A.23 B.49 C.1627 D.4333.正三角形的外接圆半径是 4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形外接圆半径长为( )A.86cm B.46cm C.26c
11、m D. 6cm三、计算题1.已知一个正 n 边形的外接圆半径和内切圆半径分别为 20cm，103cm，求：这个多边形的边长和面积.2.已知O 的半径为 R，求它的内接正三角形的内切圆的内接正方形的周长.【素质优化训练素质优化训练】1.如图 7-48 所示，已知三个等圆A、B、C 两两外切，E 点为A、C 的切点，EDBC 于 D，圆的半径为 1，求 DE 的长.2.证明：如果延长正六边形的各边，使其两两相交，顺次连结各交点，则得一个新的正六边形，而它的面积等于原正六边形面积的三倍. 【知识探究学习知识探究学习】如图 7-49，ABCD 为正方形，E、F 分别在 BC、CD 上，且 AEF 为正三角形，四边形 ABCD为AEF 的内接正方形，AEF为正方形 ABCD的内接正三角形。(1)试猜想ABCDDCBA SS正方形正方形与AEF F EASS的大小关系，并证明你的结论；(2)求ABCDDCBA SS正方形正方形的值.参考答案参考答案【同步达纲练习同步达纲练习】一、1.2n 2.3R 21R;433R2 33a 3.12；1800 4.n=5 5.1;2336. 321 7.321 8.43二、1.A 2.C 3.C三、1.边长为 20cm，面积为 6003cm22.所求正方形的周长为 22R【素质优化训练素质优化训练】1.ABC 为正三角形，DE232.(略)
